ich suche einen Weg zur Berechnung der Summe der ersten n Dreieckszahlen.
Zwei Ideen - leider nicht sehr exakt:
Die Summe der ersten n Dreieckszahlen entspricht im Grunde einem Tetraeder der Seitenlänge n.
Damit sollte für n>>1 gelten: Dreieckszahlsumme S = Tetraedervolumen V = n³ * SQRT(2) / 12
n=1000:
S(1000)=167.167.000
V(1000)=117.851.130,2
V * SQRT(2)= 166.666.666,67 = n³/6
(für große n scheint der offenbar systematische Fehler gegen Wurzel 2 zu gehen)
Welche andere Möglichkeit gäbe es, die Summe der Dreieckszahlen zu berechnen, oder auch nur den Fehler der obigen Methoden, um so auch für endliche n die exakte Summe bestimmen zu können?
ich suche einen Weg zur Berechnung der Summe der ersten n
Dreieckszahlen.
löblich! Sich mit Mathe beschäftigen ist immer gut
Welche andere Möglichkeit gäbe es, die Summe der
Dreieckszahlen zu berechnen, oder auch nur den Fehler der
obigen Methoden, um so auch für endliche n die exakte Summe
bestimmen zu können?
Tip: direkt eine geschlossene Formel suchen.
Also z.B.(!) Summe der ersten n Dreieckszahlen = a n^4 + b n^3 + c n^2 + d n + e
Dann berechnet man von Hand die linke und die rechte Seite für n von 1 bis 5. Das liefert einem schon mal die Werte für a bis e.
Nun hat man eine Vermutung was die Formel sein könnte, für den Beweis davon nur als Stichwort: vollständige Induktion.
Auf die Art und Weise kann man oft eine Formel erkennen und beweisen (halt sofern sie eine einfache Struktur hat, kleiner Hinweis: deine hat!).
Welche andere Möglichkeit gäbe es, die Summe der
Dreieckszahlen zu berechnen, oder auch nur den Fehler der
obigen Methoden, um so auch für endliche n die exakte Summe
bestimmen zu können?
Tip: direkt eine geschlossene Formel suchen.
Also z.B.(!) Summe der ersten n Dreieckszahlen = a n^4 + b n^3
c n^2 + d n + e
Noch ein Tipp: die n-te Dreieckszahl ist n*(n+1)/2. Wenn man von 1 bis k summiert, wird der höchste Term die Ordnung k^3 haben (einen Beweis hab ich nicht, aber ich findes es recht anschaulich: k * (k*(k+1)/2) ist sicher nicht kleiner als der gesuchte Wert.
Dann berechnet man von Hand die linke und die rechte Seite für
n von 1 bis 5. Das liefert einem schon mal die Werte für a bis
e.
Nun hat man eine Vermutung was die Formel sein könnte, für den
Beweis davon nur als Stichwort: vollständige Induktion.
Recht gute, wenn auch nicht unbedingt leicht verdauliche Literatur zum Thema ist z.B. von Donald E. Knuth: „The Art of Programming, Volume 1“. Da gibt es jede Menge mathematischer Vorbemerkungen, v.a. diskrete Mathematik.
Welche andere Möglichkeit gäbe es, die Summe der
Dreieckszahlen zu berechnen, oder auch nur den Fehler der
obigen Methoden, um so auch für endliche n die exakte Summe
bestimmen zu können?
ich suche einen Weg zur Berechnung der Summe der ersten n
Dreieckszahlen.
löblich! Sich mit Mathe beschäftigen ist immer gut
richtig deswegen habe ich es gleich allgemein für die z. Dimension mitbestimmt (wer weiß, ob man es nicht mal brauchen kann):
z-dimensionale Dreieckszahl D(n;z) = (n-1+z)! / [(n-1)! z!]
Wobei sich die Frage erhebt, ob und wie man gebrochen-dimensionale Volumen (Dreieckszahlen) berechnen könnte, da „!“ ja nur ganzzahlig definiert ist…
Binominalkoeffizienten/‚Überzahlen‘
Hallo, ist schon jemand aufgefallen, daß
n*[n+1]/2 dasselbe ist wie ([n+1] über 2)
und
die Summenformel
n^3/6 + n^2/2 + n/3 = n*[n+1]*[n+2]/6
dasselbe wie ([n+2] über 3) ???
Also beides Binominalkoeffizienten?
Ob sich dieser Zusammenhang mit dem
Pascalschen Dreieck erklären läßt?
Grüße,
Amöbe
wow, d.h. die Summe von (n über k) ist ganz einfach ([n+1] über [k+1])
Warum steht das nicht in meinem 600-Seiten-Bartsch?!
(n über 1) = Natürliche Zahlen,
deren Summe ist ([n+1] über 2) = Dreieckszahlen
und deren Summe ist ([n+2] über 3) = Tetraederzahlen
logischerweise wären ([n+z-1] über z) die Dreieckszahlen der z-ten Dimension - und genauso ist es!
Die natürlichen Zahlen können als eindimensionale Dreieckszahlen betrachtet werden.
Gruß dumonde
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
