Summe der ersten n Dreieckszahlen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

ich suche einen Weg zur Berechnung der Summe der ersten n Dreieckszahlen.

Zwei Ideen - leider nicht sehr exakt:

  1. Die Summe der ersten n Dreieckszahlen entspricht im Grunde einem Tetraeder der Seitenlänge n.
    Damit sollte für n>>1 gelten: Dreieckszahlsumme S = Tetraedervolumen V = n³ * SQRT(2) / 12

n=1000:
S(1000)=167.167.000
V(1000)=117.851.130,2
V * SQRT(2)= 166.666.666,67 = n³/6
(für große n scheint der offenbar systematische Fehler gegen Wurzel 2 zu gehen)

  1. durch Integration
    Dreieckszahl Dn = (n²+n)/2
    I_Dn = n³/6 + n²/4

n=1000:
S(1000) = 167.167.000
I(1000) = 166.916.666,7

Welche andere Möglichkeit gäbe es, die Summe der Dreieckszahlen zu berechnen, oder auch nur den Fehler der obigen Methoden, um so auch für endliche n die exakte Summe bestimmen zu können?

Gruß Ralf

#2

Moin,

ich suche einen Weg zur Berechnung der Summe der ersten n
Dreieckszahlen.

löblich! Sich mit Mathe beschäftigen ist immer gut :smile:

Welche andere Möglichkeit gäbe es, die Summe der
Dreieckszahlen zu berechnen, oder auch nur den Fehler der
obigen Methoden, um so auch für endliche n die exakte Summe
bestimmen zu können?

Tip: direkt eine geschlossene Formel suchen.
Also z.B.(!) Summe der ersten n Dreieckszahlen = a n^4 + b n^3 + c n^2 + d n + e
Dann berechnet man von Hand die linke und die rechte Seite für n von 1 bis 5. Das liefert einem schon mal die Werte für a bis e.
Nun hat man eine Vermutung was die Formel sein könnte, für den Beweis davon nur als Stichwort: vollständige Induktion.

Auf die Art und Weise kann man oft eine Formel erkennen und beweisen (halt sofern sie eine einfache Struktur hat, kleiner Hinweis: deine hat!).

Ciao, Holger

#3

Hallo,

Welche andere Möglichkeit gäbe es, die Summe der
Dreieckszahlen zu berechnen, oder auch nur den Fehler der
obigen Methoden, um so auch für endliche n die exakte Summe
bestimmen zu können?

Tip: direkt eine geschlossene Formel suchen.
Also z.B.(!) Summe der ersten n Dreieckszahlen = a n^4 + b n^3

  • c n^2 + d n + e

Noch ein Tipp: die n-te Dreieckszahl ist n*(n+1)/2. Wenn man von 1 bis k summiert, wird der höchste Term die Ordnung k^3 haben (einen Beweis hab ich nicht, aber ich findes es recht anschaulich: k * (k*(k+1)/2) ist sicher nicht kleiner als der gesuchte Wert.

Dann berechnet man von Hand die linke und die rechte Seite für
n von 1 bis 5. Das liefert einem schon mal die Werte für a bis
e.
Nun hat man eine Vermutung was die Formel sein könnte, für den
Beweis davon nur als Stichwort: vollständige Induktion.

Recht gute, wenn auch nicht unbedingt leicht verdauliche Literatur zum Thema ist z.B. von Donald E. Knuth: „The Art of Programming, Volume 1“. Da gibt es jede Menge mathematischer Vorbemerkungen, v.a. diskrete Mathematik.

Grüße,
Moritz

#4

Welche andere Möglichkeit gäbe es, die Summe der
Dreieckszahlen zu berechnen, oder auch nur den Fehler der
obigen Methoden, um so auch für endliche n die exakte Summe
bestimmen zu können?

Meinst du vielleicht folgendes?

(Unter dem Summenzeichen steht k=1, darüber n)

∑ k(k+1)/2 = 1/2∑k² + 1/2∑k = 1/2 [n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2] =

(n³+3n²+2n)/6

Gruß Frank

#5

Meinst du vielleicht folgendes?
∑ k(k+1)/2 = 1/2∑k² + 1/2∑k = 1/2[n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2] =
(n³+3n²+2n)/6

Fast! :wink:

Das ist die Formel für die Pyramidenzahlen, ich suchte (und fand:wink: aber die Formel für die Tetraederzahlen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tetraederzahl

Gruß Ralf

#6

Moin,

ich suche einen Weg zur Berechnung der Summe der ersten n
Dreieckszahlen.

löblich! Sich mit Mathe beschäftigen ist immer gut :smile:

richtig :wink: deswegen habe ich es gleich allgemein für die z. Dimension mitbestimmt (wer weiß, ob man es nicht mal brauchen kann):
z-dimensionale Dreieckszahl D(n;z) = (n-1+z)! / [(n-1)! z!]

Wobei sich die Frage erhebt, ob und wie man gebrochen-dimensionale Volumen (Dreieckszahlen) berechnen könnte, da „!“ ja nur ganzzahlig definiert ist…

Thanx :wink:
Ralf

#7

Binominalkoeffizienten/‚Überzahlen‘
Hallo, ist schon jemand aufgefallen, daß
n*[n+1]/2 dasselbe ist wie ([n+1] über 2)
und
die Summenformel
n^3/6 + n^2/2 + n/3 = n*[n+1]*[n+2]/6
dasselbe wie ([n+2] über 3) ???

Also beides Binominalkoeffizienten?
Ob sich dieser Zusammenhang mit dem
Pascalschen Dreieck erklären läßt?
Grüße,
Amöbe

1 Like
#8

Hallo Amöbe,

wow, d.h. die Summe von (n über k) ist ganz einfach ([n+1] über [k+1])
Warum steht das nicht in meinem 600-Seiten-Bartsch?!

(n über 1) = Natürliche Zahlen,
deren Summe ist ([n+1] über 2) = Dreieckszahlen
und deren Summe ist ([n+2] über 3) = Tetraederzahlen
logischerweise wären ([n+z-1] über z) die Dreieckszahlen der z-ten Dimension - und genauso ist es!
Die natürlichen Zahlen können als eindimensionale Dreieckszahlen betrachtet werden.

Gruß dumonde

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