Summe einer Reihe

Wissenschaft Mathematik
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Hallo allerseits,
Mein Problem ist folgendes:
Ich habe privat etwas herumgerechnet und bin auf ein Problem gestoßen, dass ich mit dem jetzigen Stand meiner Mathematikkentnisse(13. Klasse) nicht lösen kann.

Wie groß ist die Summe für n=0 bis n gegen unendlich der Reihe
„(2n über n) / 2^(2n)“
Analog könnte man für die Folge auch „(2n)! / [(n!)^2 * 2^(2n)]“ oder
auch " [1 * 3 * 5 * 7 * 9 * … * (2n-1)]/[2 * 4 * 6 * 8 * … * (2n)] schreiben.
Ich hoffe trotz der etwas plumpen Schreibweise wird klar, wie der Term aussieht, den ich meine.

Ich bin mir nicht hundertprotzentig sicher, ob die Folge überhaupt konvergent ist.
Ich habe probiert mithilfe des Wallis-Produkts zu argumentieren und bin zu dem Schluß gekommmen, dass sich die Folge für n gegen Unendlich immer mehr
„Wurzel aus [2/(Pi + (2n + 1) )]“ annährt. Da das n im Divisor gegen Unendlich läuft würde der Ausdruck 0 werden und somit die Folge auch gegen 0 laufen, oder?

Ich freue mich über jede Antwort.

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Hallo, und nur zum Verständnis: Sind Reihen gemeint (Partialsummenfolgen) oder „nur“ Zahlenfolgen? mfG

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Oh Verzeihung,
Ich kenne mich in den Begrifflichkeiten nicht so gut aus.
Wenn ich den Unterschied richtig verstanden habe, dann ist eine Reihe eine Folge, deren n-tes Glied aus der Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge bestehen, nicht war?

In dem Fall handelt es sich bei meiner Folge um KEINE Reihe.
Sie ist nur eine Aneinanderreihung von Zahlen, die keine Summen einer anderen Folge sind.

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Hallo Gogol,

dank der modernen Texhnik kann man ja oft, bevor man etwas zu beweisen sucht, nachsehen, ob’s überhaupt stimmt. Diese Seite: http://www.wolframalpha.com eignet sich besonders gut dafür. (Ich hab unten noch zwei Beispiele.)

Wie groß ist die Summe für n=0 bis n gegen unendlich der Reihe
„(2n über n) / 2^(2n)“
Analog könnte man für die Folge auch „(2n)! / [(n!)^2 *
2^(2n)]“ […] schreiben

Diese Umformung kann ich nachvollziehen. Damit hab ich mal WolframAlpha gefüttert, und der sagt: “Sum does not converge.”

Er gibt auch eine Formel für die Partialsummen an, die lässt sich natürlich mit vollständiger Induktion prima beweisen; wie man drauf kommt, darüber denk ich jetzt nicht nach.

Dass die Partialsummenfolge divergiert, kann man sicher mit geschickten Abschätzungen für die Fakultät-Funktion zeigen. Auch darüber denk ich jetzt nicht nach.

oder auch " [1 * 3 * 5 * 7 * 9 * … * (2n-1)]/[2 * 4 * 6 * 8 * … * (2n)] schreiben.

Diese Umformung kann ich nicht nachvollziehen. Gut, ich kann ein n! kürzen und eine 2^n mit der verbliebenen n! im Nenner verrechnen, dann bekomm ich schon mal Deinen Nenner, das Produkt aller geraden Zahlen von 2 bis 2n.
Übrig habe ich immer noch (2n)*(2n-1)*…*(n+1)/(2^n), und das gibt mit Sicherheit nicht Deinen Zähler.

Die Summe von [1 * 3 * 5 * 7 * 9 * … * (2n-1)]/[2 * 4 * 6 * 8 * … * (2n)] kann man natürlich auch von WolframAlpha rechnen lassen, aber hier ist es viel offensichtlicher, dass sie divergiert:

[1*3*…*(2n-1)]/[2*4*…*(2n)]
= [(n-1)*(n+1)]/[n*(n+1)]
= (n-1)/n
= 1 - 1/n

und das geht für n gegen unendlich nicht gegen null (notwendige Bedingung für Reihenkonvergenz), sondern gegen 1.

Liebe Grüße
Immo