Hallo!
Ich soll folgendes berechnen und weiß nicht wie ich beginnen soll:
Summe(k=2 bis oo) Summe(n=1 bis oo) 1/(2+n)^k
Ist es sinnvoll (und auch richtig) diese zweifache Reihe auf folgende Reihe umzuformen: Summe(k,n=1 bis oo) 1/(2+n)^(1+k) wobei k,n natürlich unabhängig voneinander laufen.
Wenn ja, was muss ich weiter machen, um die gesuchte Summe zu erhalten??
Wenn nein, warum nicht und wie soll ich sonst mit diesen beiden Reihen die Summe berechnen??
lg
Gregor
Hallo!
Ja, du kannst so umformen (die Terme sind alle nichtnegativ, also darf man umordnen). Wenn du nach k summierst, sieht das wie eine geometrische Reihe aus. Da gibts dann eine Formel und dann kriegt man hoffentlich für die Summation nach n auch was raus.
Grüße,
Olaf
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Hallo,
Ich soll folgendes berechnen und weiß nicht wie ich beginnen
soll:Summe(k=2 bis oo) Summe(n=1 bis oo) 1/(2+n)^k
Dann schauen wir mal:
∑n=1…∞ ∑k=2…∞ 1/(2+n)^k
=
∑n=1…∞ (1/(1-1/(2+n)) - 1/(2+n)^0 - 1/(2+n)^1)
=
∑n=1…∞ ((2+n)/(1+n) - (3+n)/(2+n))
=
∑n=1…∞ (2+n)/(1+n) - ∑n=2…∞ (2+n)/(1+n)
= 3/2
Nette kleine Aufgabe!
Gruß
Oliver
Hallo Gregor,
Summe(k=2 bis oo) Summe(n=1 bis oo) 1/(2+n)^k
Ist es sinnvoll (und auch richtig) diese zweifache Reihe auf folgende
Reihe umzuformen: Summe(k,n=1 bis oo) 1/(2+n)^(1+k) wobei k,n natürlich unabhängig voneinander laufen.
Natürlich, denn das ist ja die gesamte (Summen)„Population“.
Ich schreibe hier die Summe nur formal anders:
S = S{(1/[n+2])^[k+1]};1,n,oo;2,k,oo
Man kann hier die Summenbildung separat durchführen:
S{(1/[n+2])^[k+1]};1,n,oo;2,k,oo =
S{(1/[n+2])^[k+2]};1,n,oo;1,k,oo =
S{(1/[n+2]^2)*S{(1/[n+2])^k};1,k,oo;1,n,oo =
Wegen der geschlossenen Formel für die innere Potenzreihe gleich
S{(1/[n+2]^2)*(1/[n+2])/(1-1/[n+2])};1,n,oo =
S{(1/[n+2]^2)*([n+1]/[n+2])*};1,n,oo =
S{1/([n+1]*[n+2])};1,n,oo =
das wir distributiv zerlegen können in
S{1/([n+1]- 1/[n+2])};1,n,oo und das ist eine „Teleskopsumme“.
genauer:
S = S{1/([n+1]- 1/[n+2])};1,n,oo =
S{1/([n+1]};1,n,oo -S{1/[n+2])};1,n,oo =
1/2 + S{1/([n+1]};2,n,oo -S{1/[n+2])};1,n,oo
wo sich alles weghebt außer der 1/2 vom Anfang und einem unendlich klein werdenen Rest 1/[n+2].
Ergebnis also S = 1/2
Und das kam bei mir auch empirisch raus.
Viele Grüße,
Jojo
Bei der letzten Zeile ist mir in der Eile ein Fehler unterlaufen. Es muss natürlich heißen:
∑n=1…∞ ((2+n)/(1+n) - (3+n)/(2+n))
= 3/2 - limn->∞ (3+n)/(2+n) = 3/2 - 1 = 1/2
Gruß
Oliver