Nur zur Ergänzung
Hossa 
mich interessiert schon ein paar Tage lang wie man die Länge
eines Graphen in einem bestimmten Intervall ausrechnet. Ich
bin dabei auf folgene Formel gestossen:
L=\int_a^b \sqrt{1+f’(x)^{2}} dx
Die Formel stimmt, sie folgt direkt aus dem Satz des Phythagoras. Nimm zwei Punkte auf dem Graphen der Funktion f(x), nennen wir sie (x1,y1) und (x2,y2). Dann kannst du das zugehörige Steigungsdreieck zeichnen. Die beiden Katheten haben die Länge:
\Delta x=x_2-x_1\quad;\quad\Delta y=y_2-y_1
Die Länge der Hypothenuse kann als grobe Näherung für die Länge des Graphen zwischen diesen beiden Punkten angenommen werden. Nach Phythagoras gilt für die Länge der Hypothenuse im Steigungsdreieck:
(\Delta s)^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2
Das kann man ein wenig umformen:
\frac{(\Delta s)^2}{(\Delta x)^2} =1+\frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2}\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\Delta s}{\Delta x} = \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}
Die grobe Näherung der Hypothenusenlänge als Länge der Kurve wird umso genauer, je kleiner das Intervall (Delta x) gemacht wird. Im Grenzübergang (Delta x) gegen Null wird sie exakt und es gilt:
\frac{ds}{dx} = \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\quad\Longrightarrow\quad
ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2},dx
Also gilt für die Länge der Kurve s zwischen den beiden Punkten x1 und x2 schießlich:
L = \int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f’(x)]^2},dx
Bei Linearen Funktionen geht das ja noch ganz gut, aber wenn
ich beispielsweise:
L=\int_0^1 \sqrt{1+(2x)^{2}} dx
ausrechnen will stehe ich bei der Integration vor einem
Problem.
Bei solchen reinen Rechenaufgaben hilft eine der besten Seiten im Internet schnell weiter:
http:\www.wolframalpha.com
Einfach die Rechenaufgabe eingeben (ohne Anführungszeichen):
„integrate sqrt(1+4x^2)“
Auf Wunsch werden sogar die Zwischenschritte mit angezeigt (rechts oben im Ergebnis klicken)
Viele Grüße
Hase