Hallo,
ich habe bei den zwei folgenden Aufgaben Probleme. Ich weiß, dass ich um den Wert einer Reihe zu berechnen, die Reihe in Teilfolgen zerlegen und dann die Werte der Teilfolgen addieren muß. Aber wie erhalte ich letztere.
Summe von k=0 bis n von q^k= a) (1-q^(n+1))/(1-q) für q ungleich 1; n+1 für q=1
(Hier weiß ich auch nicht, wie ich diese Reihe günstig zerlegen kann)
Für q Element der reelen Zahlen und /q/
Also,
wenn Du 1. nicht siehst, dann ueber vollstaendige Induktion.
bei 2. die Partialsummen in Teile vom Typ 1. zerlegen, nach 1. zusammenfassen, gleiche Faktoren ausklammern, nochmal 1. anwenden.
Ciao Lutz
Hallo Kati,
- Summe von k=0 bis n von q^k= a) (1-q^(n+1))/(1-q) für q
ungleich 1; n+1 für q=1
(Hier weiß ich auch nicht, wie ich diese Reihe günstig
zerlegen kann)
Klappt auch nicht die zu „zerlegen“. Das ist eine der Grundformeln, die man – wie Lutz schon richtig geschrieben hat – über vollständige Induktion nachweist.
- Für q Element der reelen Zahlen und /q/
Dies ist dann eine Potenzreihe und diese darf innerhalb ihres
Konvergenzbereiches differenziert werden. Daraus folgt dann
die Lösungsformel ganz leicht.
Es ist zu vermuten, dass diese Argumentation erst in 2 bis 4 Monaten zur Verfuegung steht und auf dem entsprechenden Uebungszettel nicht verwandt werden sollte.
Wenn man Reihen multiplizieren kann, dann ist 2. einfach das Quadrat von 1., und 1. geht auch ohne vollstaendige Induktion, perr allgemeiner letzter binomischer Formel.
Ciao Lutz
Hallo Lutz,
Dies ist dann eine Potenzreihe und diese darf innerhalb ihres
Konvergenzbereiches differenziert werden. Daraus folgt dann
die Lösungsformel ganz leicht.Es ist zu vermuten, dass diese Argumentation erst in 2 bis 4
Monaten zur Verfuegung steht und auf dem entsprechenden
Uebungszettel nicht verwandt werden sollte.
Tja, hatte ich mir auch überlegt. Aber woher soll’ ich nun wissen ob 1. eine Wiederholungsfrage und 2. die darauf aufbauende des entsprechenden folgenden Semesters ist?
(Schien mir aufgrund der Fragestellung relativ logisch.)
Wenn man Reihen multiplizieren kann, dann ist 2. einfach das
Quadrat von 1., und 1. geht auch ohne vollstaendige Induktion,
perr allgemeiner letzter binomischer Formel.
Und diese beweist man doch eben mit der vollständigen Induktion.
Also schließt sich der Kreis wieder.
Gruß
Helga
- geht auch ohne vollstaendige Induktion,
per allgemeiner letzter binomischer Formel.Und diese beweist man doch eben mit der vollständigen
Induktion.
Noee,
die erste ja, die Verallgemeinerung von a^2-b^2=(a+b)(a-b) ist ein nettes kleines Beispiel fuer eine Indexverschiebung in einer Summe.
…
Was hat der Herr Binomi da nur angerichtet. Die erste binomi-Formel ist equivalent zur zweiten, deshalb ist die dritte andernorts schon die zweite…
Ciao Lutz
Hallo Lutz,
Noee,
die erste ja, die Verallgemeinerung von a^2-b^2=(a+b)(a-b) ist
ein nettes kleines Beispiel fuer eine Indexverschiebung in
einer Summe.
Verstehe ich das richtig, daß Du unter der verallgemeinerten letzten Binomischen Formel die folgende verstehst?
(a^n-b^n)/(a-b)=sum_{i=0}^{n} a^(n-i)*b^i
Wenn ja, dann zeig’ ich die ganz ohne Indexverschiebung, indem ich sie (nach Fallunterscheidung) auf
(1-q^n)/(1-q)
zurückführe. (Und diese wurde über vollständige Induktion bewiesen.)
Falls Du diese Formel meist und einen anderen Beweis derselben Formel kennst, ist mir immer noch nicht klar, wie dann mathematisch „ganz sauber“ der Schritt von 2 auf die Verallgemeinerung n zu vollziehen ist. Wir haben (damals vor langer Zeit) im Studium immer gelernt, daß jedes … in einer Formel, die für alle natürlichen Zahlen n gelten soll, korrekterweise über vollständige Induktion zu beweisen ist. (Wenn der Zusammenhang ganz einfach und offensichtlich ist, schenkt man sich diesen Schritt aber oftmals gern.)
Gruß
Helga