Summenformel für geometrische Reihen

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo Ihr lieben! :smile:

ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht ( leider ) so ganz lösen kann. Seit ihr so nett und könnt mir helfen??

unzwar lautet die Aufgabe:

Wie kann man die Formel herleiten :
Summenformel ( sigma) q^n-1
____
q-1

Da gibts einige Schritte: 1.Man subtrahiert die Gleichung, 2. Ausklammern. 3. Vertauschen 4. Dividieren
Könnt ihr mir die einzelnen Schritten ausfürhlicher aufschreiben?

lg :smile:

2

Welche Reihe ist gemeint??
Diese hier?
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n-1}}{q-1}
Oder diese?
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{q^n-1}{q-1}
Beginnt die reihe überhaupt bei n = 1?

Und sollten die Unterstriche überhaupt einen Bruchstrich darstellen?

Und von welcher Gleichung ist die Rede?

mfg,
Ché Netzer

3

Welche Reihe ist gemeint??

das ist etwas kompliziert hier zu erklären…ich hab ein arbeitsblatt von meinem lehrer bekommen wo ein beispiel drinn ist und dazu die formel und wir sollen das beweisen können. aber wie ic sehe kann man hier keine dateien anhängen, sonst könnte ich ein bild von dem arbeitsblatt machen, damit du mich besser verstehen kannst…trotzdem danke

lg

4

  1. Mit LaTeX:
    …

  2. Zum Ausfüllen:
    a) Wo beginnt die Reihe (0 oder 1?)
    b) Wenn das ein Bruch sein sollte:
    Was steht im Zähler, was davon ist der Exponent?
    Was steht im Nenner?

mfg,
Ché Netzer

5

Hossa Lisa :smile:

Du meinst vermutlich die Summenformel für geometrische Reihen:

1+q+q^2+q^3+q^4+\cdots+q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}\quad\mbox{wenn};q\not=1

Der Beweis ist sehr einfach. Im erste Schritt multiplizierst du die Summe auf der linken Seite mit (q-1):

\left(1+q+q^2+q^3+q^4+\cdots+q^{n-1}\right)\cdot(q-1)

und rechnest das einfach aus:

=q\cdot\left(1+q+q^2+q^3+q^4+\cdots+q^{n-1}\right)-1\cdot\left(1+q+q^2+q^3+q^4+\cdots+q^{n-1}\right)

=\left(q+q^2+q^3+q^4+q^5+\cdots+q^n\right)-\left(1+q+q^2+q^3+q^4+\cdots+q^{n-1}\right)

Jetzt sieht man gut, dass fast alle Summanden in der linken Klammer in der rechten Klammer wieder subtrahiert werden. So fallen die folgenden Summanden raus: q, q2, q3, q4, … und qn-1. Übrig bleibt qn in der linken Klammer und 1 in der rechten Klammer:

=q^n-1

Du hast also gezeigt, dass Folgendes gilt:

\left(1+q+q^2+q^3+q^4+\cdots+q^{n-1}\right)\cdot(q-1)=q^n-1

In dieser Gleichung kannst du beide Seiten durch (q-1) dividieren und bist fertig:

1+q+q^2+q^3+q^4+\cdots+q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}

Viele Grüße

Hasenfuß

6

Pre

Wie kann man die Formel herleiten :

Summenformel ( sigma) q^n-1

 \_\_\_\_

 q-1
7

LaTeX

Summenformel ( sigma) q^n-1
____
q-1

\sum \frac{q^{n-1}}{q-1}

8

Angeber! :wink: