Hey Leute,
Ich hätte da mal eine frage.
Vorher soll gesagt sein:
Wenn ich schreibe: (k=1 Summenzeichen n) dann ist gemeint,
Dieses komische E fürs Summenzeichen, und
darunter k=1 und dadrauf n
Also Anliegen lautet:
Kann mir jemand erklären, wie man von:
(k=1 Summenzeichen n)k^2
auf:
(n*(n+1)*(2n+1))/6
kommt
Oder vielleicht wo ich das nachlesen kann?
Wäre echt Nett.
MFG:
Tobias M.
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Hallo, google hat für so gut wie jede Frage viele Antworten.
A. Kraft
http://www.mathematik.de/mde/dbScripte/index.php?art…
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
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Hallo, google hat für so gut wie jede Frage viele Antworten.
A. Kraft
Danke schonmal für den Link, aber mein Problem ist leider,
Ich weiß echt nicht wonach ich suchen muss! 
Weil … ja ich weiß einfach nicht wie das heißt, wie man vielleicht auch am Thema sehen kann "Summenformel -->oder so
Hi,
Kann mir jemand erklären, wie man von:
(k=1 Summenzeichen n)k^2
auf:
(n*(n+1)*(2n+1))/6
Die Gleichheit dieser beiden Terme laesst sich durch vollstaendige Induktion beweisen.
Gruss
Paul
Auch hallo.
Zum Nachlesen:
http://www.mathe-online.at/materialien/matroid/files… -> „Beweise folgenden Satz: 1+4+9+…+n2 = n*(n+1)*(2n+1)/6“
HTH
mfg M.L.
Hallo Tobias,
Dieses komische E fürs Summenzeichen
dieses komische E ist der griechische Großbuchstabe Sigma, der im lateinischen Alphabet dem S ( S umme) entspricht.
(k=1 Summenzeichen n)k^2
(n*(n+1)*(2n+1))/6
Tun wir mal so, als wüßten wir nicht, wieviel Σk = 1…n k² ist. Dann müssen wir uns damit begnügen, die Werte dieser Summe für die ersten n „zu Fuß“ auszurechnen, z. B.
Σk = 1…4 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 30
Schreiben wir unsere Ergebnisse in eine Tabelle, sieht das so aus:
n Σ (k=1...n) k²
------------------
1 1
2 5
3 14
4 30
5 55
6 91
7 140
Nun kann man ausrechnen, welchen Grad und welche Koeffizienten das Polynom, also eine Funktion der Bauart am xm + am–1 xm–1 + … + a1 x + a0 haben muss, das durch diese Punkte verläuft. Dazu gibt es entsprechende Formeln, oder besser gesagt Algorithmen („Polynominterpolation“).
Man kann nun immer ein Polynom vom Grad 7 finden, das durch 7 vorgegebene Punkte verläuft, aber in diesem Fall gibt es sogar ein viel einfacheres Polynom, nämlich eins vom Grad 3! Es lautet: 1/3 x³ + 1/2 x² + 1/6 x. Das erlaubt uns mit einigem Recht zu vermuten, dass Σk = 1…n k² dasselbe ist wie 1/3 n3 + 1/2 n2 + 1/6 n = 1/6 n (n + 1) (2 n + 1):
Σk = 1…n k² = 1/6 n (n + 1) (2 n + 1) [
]
Das müssen wir jetzt aber noch beweisen. Das Verfahren dazu heißt vollständige Induktion.
Aufgrund der Wertetabelle wissen wir schon, dass [] bis einschließlich n = 7 stimmt. Daher nehmen wir einfach mal an, das wäre auch für alle höheren n-Werte, also 8, 9 usw. so.
Frage: Wieviel ist Σk = 1…n+1 k² ?
Antwort: Wenn [] stimmt, wovon wir ja ausgehen, dann muss das einerseits gleich
(A) 1/6 (n+1) ((n+1) + 1) (2 (n+1) + 1)
sein, andererseits aber auch gleich
(B) 1/6 n (n + 1) (2 n + 1) + (n+1)²
(Klar?)
Das Prinzip der vollständigen Induktion besagt nun, dass [] genau dann für alle n stimmt, wenn A und B tatsächlich identisch sind. Das bedeutet: Gelingt es Dir „A = B“ zu zeigen, dann hast Du damit auch die Richtigkeit von [] bewiesen.
Ich überlasse es Dir, A und B soweit zu vereinfachen, bis Du beidemale auf 2 n² + 7 n + 6 gekommen bist.
Mit freundlichem Gruß
Martin