Mein Kopf raucht bereits vom grübeln…
Wie kann ich die Summenformel
1+2+3+…+n = 1/2*n (n+1) ,
(bzw. 1^2+2^2+3^2+…+z^2 = 1/6 + z (z+1)*(2z+1) )
herleiten?
Also, zunächst habe ich ja einfach (k-1)^2 = k^2-2k+1
Setze ich nun nacheinander für k die Zahlen 1; 2; 3;…; n ein, und dann die entstehenden Gleichungen addiere, entsteht laut Buch:
(Stimmt diese? Ich komme statt dem letzten +n auf +1)
Aber wie folgt nun aus dieser Gleichung
1^2+2^2+…+(n-1)^2 = 1^2+2^2+…+n^2-2*(1+2+…+n)+n
Diese Aufgabe ist der Legende nach Gauss mit n = 100 als Stafarbeit in Mathe aufgebrummt worden, weil er den Untericht gestört hatte.
Du kommst auf die Summe durch geschicktes Zählen. Angenommen Du musst wie Gauss eine GERADE Anzahl zusammenzählen. Dann ergeben der erste (1) und der letzte Summand (n) zusammen n+1. Wenn Du den nächsten und der vorletzen Summand betrachtest, dann ist deren Summe wieder n+1, das gilt nun für alle Summandenpaare bis in die Mitte. Zusammen sind dies nun n/2 Paare mit Summe n+1 und somit bekommst Du den Wert von (n+1)n/2 für die gesammte Summe. Hast Du nun ein UNGERADES n, so passiert genau das gleiche bei Deiner Paarbildung, mit dem Unterschied, dass es nun (n-1)/2 Paare mit den Wert (n+1) sind und eine Zahl in der Mitte übrigbleibt. Diese hat dann den Wert (1+n)/2 es folgt nun wieder: Gesammte Summe ist gleich (n-1)/2 * (n+1) + (1+n)/2 = n/2 *(n+1).
Die 2. Formel lautet 1/6 * z(z+1)(2z+1). Mal, nicht Plus!
Für die Herleitung aus der 2. Formel setzt Du Summe(1^2,…,(n-1)^2)=1/6*(n-1)(n)(2n-1)=1/6*n(n+1)(2n+1)-2*Summe(1,…,n)+n, löst es auf nach Summe(1,…,n) und erhältst mit Ausmultiplizieren 1/6(2n^3+2n^2+n^2+n-2n^3+2n^2+n^2-n)+n = 2*Summe(1,…,n), was aufgelöst ergibt 1/2(n^2+n) = Summe(1,…,n) = 1/2n(n+1).
Viele Grüße
Katharina
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Hallo,
die Gauß’sche Herleitung finde ich für die Summe der ersten n (n gerade) Zahlen immer noch am plausibelsten (s.h. Carstens Artikel). Ein universeller Ansatz zur schrittweisen Herleitung der Summenformeln, wie ich ihn kenne ist unter