Halli Hallo,
ich sitze grade an der Klausurvorbereitung für die Mathe-Klausur in der Uni. Ich habe gerätselt, gesucht, versucht und konnte nichts finden… Ich kann nicht mehr nachvollziehen wie ich diese Summe aufgelöst habe:
Bei einer meiner Aufgaben steht:
Summe von k=1 bis m, Summand ist(2k-1)^3
Gibt’s da einen Trick oder ein besonderes Gesetz?
Danke schonmal für eure Hilfe!
Liebe Grüße,
Sandra
Summe von k=1 bis m, Summand ist(2k-1)^3
Hallo Sandra,
\sum\limits_{k=1}^m(2k-1)^3
=\sum\limits_{k=1}^{2m}k^3-\sum\limits_{k=1}^m(2k)^3
=\sum\limits_{k=1}^{2m}k^3-8\sum\limits_{k=1}^mk^3
\frac{(2m)^2(2m+1)^2}{4}-8\frac{m^2(m+1)^2}{4}
Das Zusammenfassen überlasse ich dir.
Gruß
hendrik
Hallo.
\sum\limits_{k=1}^m(2k-1)^3
=\sum\limits_{k=1}^{2m}k^3-\sum\limits_{k=1}^m(2k)^3
Kannst du mir diesen Schritt erläutern? Ich stehe wohl gerade auf dem Schlauch, wie diese Umformung funktioniert.
Sebastian.
Guten Tag,
da die ursprüngliche Summation über die ungeraden Zahlen geht, wurden die dritten Potenzen der geraden Zahlen dazwischen ergänzt und gleich darauf wieder abgezogen.
Man könnte auch nach binomischer Formel ausmultiplizieren und dann die Summenformeln für die ersten, zweiten und dritten Potenzen einsetzen.
Oder mit
(n+1)^4-(n-1)^4=8*n^3+8*n, (n=2k-1)
in eine Teleskopsumme und eine Summe über erste Potenzen zerlegen.
Gruß Lutz
da die ursprüngliche Summation über die ungeraden Zahlen
geht, wurden die dritten Potenzen der geraden Zahlen
dazwischen ergänzt und gleich darauf wieder abgezogen.
Hi Lutz,
da warst du schneller mit der Erklärung als ich, danke.
Gruß
hendrik
Hallo.
da die ursprüngliche Summation über die ungeraden Zahlen
geht, wurden die dritten Potenzen der geraden Zahlen
dazwischen ergänzt und gleich darauf wieder abgezogen.
Vielen Dank, das leuchtet ein. Mir jedemfalls. Dem Ursprungsposter hoffentlich auch… 
Man könnte auch nach binomischer Formel ausmultiplizieren und
dann die Summenformeln für die ersten, zweiten und dritten
Potenzen einsetzen.
Das wäre der Weg gewesen, den ich gegangen wäre. Aber so ist es ja deutlich einfacher.
Sebastian.