Superposition von Wellen (Interferenz)

Wissenschaft Physik
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Hallo, ich hoffe ihr wärt so nett mir bei einer Frage aus der Wellenlehre zu helfen. Es geht um die Interferenz, also die Überlagerung von zwei Wellen nach dem Superpositionsprinzip.

Nehmen wir ein Beispiel in dem es um die Superposition von zwei kohärenten Wellen geht. In einem Punkt A, welcher sich von den Wellenquellen S1 und S2 in einem Abstand von x1 und x2 befindet, sind die Schwingungen die in den Punkt A ankommen, von der einen und anderen Wellenquelle, durch diese Gleichungen gegeben:

y_{1} = y_{01} \ sin \ \omega (t - \frac{x_{1}}{v})

y_{2} = y_{02} \ sin \ \omega (t - \frac{x_{2}}{v})

Bei kleinen Abständen x1 und x2 sind die Amplituden y01 und y02 ca. gleich groß, das bedeutet y01 = y02 = y0.
Für omega setzen wir 2 pi / T ein. Also:

\omega = \frac{2 \pi}{T}

Für die Geschwindigkeit v setzten wir Wellenlänge (lambda) * Frequenz (nu) ein. Also:

v = \lambda \ \nu

Und die Frequenz ist 1 / T (T = Periode). Also:

\nu = \frac{1}{T}

Die Gleichungen bekommen diese Form:

y_{1} = y_{0} \ sin \ 2 \pi \left (\frac{t}{T} - \frac{x_{1}}{\lambda}\right ), \ y_{2} = y_{0} \ sin \ 2 \pi \left (\frac{t}{T} - \frac{x_{2}}{\lambda}\right )

Nach dieser Gleichung bekommen wir den Phasenunterschied der Schwingung der nach der superposition im punkt A, den folgenden wert haben wird:

\Delta \varphi = 2 \pi \frac{x_{2} - x_{1}}{\lambda}

Hier kommt die erste Frage:

  • Was ist dieser Phasenunterschied, könnt ihr mir ihn beschreiben? Wieso ist er so wichtig für die Interferenz und wie hat man ihn aus den vorletzten Gleichungen bekommen?

Dann geht es weiter

Die Amplitude der resultierenden Schwingung ( ab hier ist aus zwei Schwingungen eine geworden? ) hängt von dem Phasenunterschied ab, der sich im Punkt A ergibt und die Amplitude kann:

maximal sein wenn dieser Fall vorliegt

\Delta \varphi = 2 \pi \frac{x_{2} - x_{1}}{\lambda} = \pm 2 k \pi; \ \ \ k = 0,1,2,3… \ \ \ und \ \ \ x_{2}-x_{1} = k \ \lambda

Ab hier ist mir nicht klar, was k sein soll? Warum wird die Amplitude maximal wenn k = 0,1,2,3… (bis unendlich?) sein soll?

minimal wenn dieser Fall vorliegt

\Delta \varphi = 2 \pi \frac{x_{2} - x_{1}}{\lambda} = \pm (2 k + 1)\pi; \ \ \ k = 0,1,2,3… \ \ \ und \ \ \ x_{2}-x_{1} = (2k + 1)\frac{\lambda}{2}

Genau die gleiche Frage. Was ändert denn k genau? Und wieso wird die Amplitude jetzt minimal?

Wenn der Phasenunterschied einen Wert zwischen 2 k /pi und (2k + 1)/pi hat, dann wird die Amplitude der resultierenden Schwingung einen Wert zwischen der maximalen und minimalen Amplitude haben.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke für jeden Antwort.
Mfg. Carboneum.

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Hallo =)

Also zu deiner 1. Frage:

Hier kommt die erste Frage:

  • Was ist dieser Phasenunterschied, könnt ihr mir ihn
    beschreiben? Wieso ist er so wichtig für die Interferenz

Phasenunterschied:

Schau dir mal am besten f(x)=sin(x) und g(x)=sin(x+pi) an. Diese sind um eine halbe Phase verschoben. Der Sinus ist ja 2-pi-periodisch. Wenn du diese beiden Signale nun überlagerst, d.h. h(x)=f(x)+g(x) bildest siehst du, dass du 0 bekommst. Das liegt an der Phasenverschiebung (sin(x)=-sin(x+pi)).
Um zu schauen, wie zwei Signale miteinander interferieren überlagerst du sie „einfach“ - also addierst sie. Wie du bei meinem Beispiel gesehen hast, ist der Phasenunterschied sehr relevant für die Überlagerung.

Zu deiner zweiten Frage:

Die Amplitude der resultierenden Schwingung (ab hier ist
aus zwei Schwingungen eine geworden? )

Ja, im Prinzip schon, Superpositionsprinzip.

hängt von dem
Phasenunterschied ab, der sich im Punkt A ergibt und die
Amplitude kann:

maximal sein wenn dieser Fall vorliegt

\Delta \varphi = 2 \pi \frac{x_{2} - x_{1}}{\lambda} = \pm 2
k \pi; \ \ \ k = 0,1,2,3… \ \ \ und \ \ \ x_{2}-x_{1} = k \
\lambda

Ab hier ist mir nicht klar, was k sein soll? Warum wird die
Amplitude maximal wenn k = 0,1,2,3… (bis unendlich?) sein
soll?

Nimm einfachere Beispiele - ich bleibe bei f(x)=sin(x).

Wann wird das Signal maximal? Wie ich gerade geschrieben habe, wird das Signal minimal, wenn man der Phasenunterschied einer halben Phase entspricht.
Die Überlagerung von Sinussignalen wird maximal, wen kein Phasenunterschied da ist.
Nehmen wir nun wieder zwei Signale: f(x)=sin(x) und g(x)=sin(x+a).
Wenn nun a=2*pi*k, k=0,1,2,3… ist, gibt es keinen Phasenunterschied, da der Sinus 2-pi-periodisch ist, d.h. wenn der Sinus um ein Vielfaches von 2pi verschoben wird, ist er wieder der Sinus (schwer in Worte zu fassen) - mathematisch:

sin(x+2*pi*k)=sin(x)
=> sin(x+2*pi*k)+sin(x)=2sin(x)
–> keine Phasendifferenz, maximal

Minimal wird die Signalüberlagerung, wenn der Sinus um eine halbe Phase verschoben wird: a=pi*(2k+1), also, wieder mathematisch:

sin(x+pi*(2k+1))=-sin(x)
=> sin(x+pi*(2k+1))+sin(x)=0
–> halbe Phasendifferenz, minimal

Ich hoffe, dass ich weiter helfen konnte.

MfG, Christian

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Hallo =)

Hallo :smile:, erstmal Danke für dir Antwort

Phasenunterschied:

Schau dir mal am besten f(x)=sin(x) und g(x)=sin(x+pi) an.
Diese sind um eine halbe Phase verschoben. Der Sinus ist ja
2-pi-periodisch. Wenn du diese beiden Signale nun überlagerst,
d.h. h(x)=f(x)+g(x) bildest siehst du, dass du 0 bekommst.

Eine Periode ist ja dann 2 pi, doch ich verstehe nicht ganz was du mit dem überlagern meinst, soll ich beide Schwingungen in ein Koordinatensystem einzeichnen dh. eine auf die andere oder sie zu erst addieren und dann als eine Schwingung in das Koordinatensystem zeichnen?
Denn wenn ich sie dann einzeichne, also eine neben die andere, und sie überlagere also so zeichne das die Abstände der positiven Y Achse entlang der positiven X Achse beider Schwingungen gleich ist, dann sehe ich das g einen halben Kreis weiter entlang der positiven X Achse ist.
Also ist g dann die Schwingung die hier größer ist oder? G endet zwar bei 0, also dem übergang von Y Achsenwert +1 und -1, doch ist er weiter entlang der X Achse als f, somit kann deren Ergebniss doch nicht 0 sein oder?

Dasliegt an der Phasenverschiebung (sin(x)=-sin(x+pi)).

Das verstehe ich leider auch nicht, ist -sin(x+pi) der negative Y Achsenwert? Und weil der winkel + pi also plus einen haben Kreis bekommt, wird er mit dem sinx wert gleich, also 0 (wenn man eine ganze Phase betrachtet 360°)?

Nimm einfachere Beispiele - ich bleibe bei f(x)=sin(x).

Wann wird das Signal maximal? Wie ich gerade geschrieben habe,
wird das Signal minimal, wenn man der Phasenunterschied einer
halben Phase entspricht.
Die Überlagerung von Sinussignalen wird maximal, wen kein
Phasenunterschied da ist.

Also wenn man dem winkel x mit dem Wert pi addiert, bekommt man einen Phasenunterschied von 0? Und wenn man den Winkel mit 2 pi oder 0 addiert wird der Phasenunterschied maximal?

Nehmen wir nun wieder zwei Signale: f(x)=sin(x) und
g(x)=sin(x+a).
Wenn nun a=2*pi*k, k=0,1,2,3… ist, gibt es keinen
Phasenunterschied, da der Sinus 2-pi-periodisch ist, d.h. wenn
der Sinus um ein Vielfaches von 2pi verschoben wird, ist er
wieder der Sinus (schwer in Worte zu fassen) - mathematisch:

Was ist hier der Wert k genau? Die Anzahl der Sinuszyklen? Also die Anzahl der Phasen?

sin(x+2*pi*k)=sin(x)
=> sin(x+2*pi*k)+sin(x)=2sin(x)
–> keine Phasendifferenz, maximal

Hier hast du durch k in sin (x +2*pi*k) = sin (x) einfach angegeben wie viele Phasen gemacht werden oder? Und weil man 2*pi nicht aufschreiben muss weil das eine Phase ist und k die Anzahl der Phasen ist, dann ist es gleich der anderen Seite weil da die gleichen Phasen angegeben sind nur ohne die Beschreibungen 2*pi (für 360°) und k für die Phasenanzahl?

Minimal wird die Signalüberlagerung, wenn der Sinus um eine
halbe Phase verschoben wird: a=pi*(2k+1), also, wieder
mathematisch:

sin(x+pi*(2k+1))=-sin(x)
=> sin(x+pi*(2k+1))+sin(x)=0
–> halbe Phasendifferenz, minimal

Warum ist auf der anderen Seite -sin (x)?

Ich hoffe du hast etwas Geduld mit mir, du hast das wirklich sehr gut erklärt doch leider befasse ich mich jetzt das erste mal mit der Interferenz und habe leider keine Vorkenntnisse, Vielen Dank.