Hey!
Leider verstehe ich das Superpositionsprinzip nicht wirklich. Wieso muss die Summe aller Lösungen zB einer homogenen linearen Differentialgleichung auch eine Lösung sein? Könnte mir das vielleicht jemand „logisch“ erklären? Vielleicht mit Hilfe eines einefachen Beispiels?
Ganz lieben Dank!!!
Lars
Hi !
Nehmen wir mal z.B. y’’+2y’-4y=1.
Angenommen u ist eine Lösung dieser DGL.
Weiter nehmen wir an, dass v eine Lösung der homogenen DGL ist, d.h. also
v’’+2v’-4v=0.
Jetzt ist u+v automatisch eine Lösung der inhomogenen DGL, denn
(u+v)’’+2(u+v)’-4(u+v)=u’’+2u’-4u+v’’+2v’-4v=1+0=1
Du kannst zu u irgendein Vielfaches irgendeiner Lösung der homogenen DGL dazuaddieren, und es kommt wieder eine Lösung raus, denn u liefert immer die rechte Seite und die Lösung der homogenen DGL liefert nix.
Das heißt, dass du auch beliebige Linearkombinationen aus Lösungen der homogenen DGL zu u addieren kannst und wieder eine Lösung der inhomogenen DGL erhälst.
Grüße
hendrik
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Hallo,
Wieso muss die Summe aller Lösungen zB einer homogenen
linearen Differentialgleichung auch eine Lösung sein?
Solche Loesungen, nennen wir sie g und h, ergeben ja Null wenn du sie in eine homogene Differenzialgleichung einsetzt (homogen = auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht 0).
Wenn du f und g getrennt in deine Differenzialgleichung einsetzt, steht also jeweils irgend etwas in der Form
(linke Seite) f = 0
(linke Seite) g = 0
Wenn du beiden Gleichungen addierst, hast du
(linke Seite) f + (linke Seite) g = 0 + 0
dastehen. Dann musst du nur noch ausklammern
(linke Seite) (f+g) = 0
und schon siehst du, dass auch f+g eine Loesung deiner Differentialgleichung ist.
Gruesse,
Moritz
Danke euch beiden, jetzt ist es etwas verständlicher!
In Operator-Schreibweise ist das Superpositions-Prinzip eine simple Folgerung aus der Linearität des Operators:
Operator: A=c0*d^2/dx^2+c1*d/dx+c2
Diff-Gl.: Af(x)=0
Linearität heisst dann einfach
A(a*f1(x)+b*f2(x))=a*Af1(x)+b*Af2(x)
=0 mit der Vorraussetzung, dass f1 und f2 Lösungen sind !
Gruß
Franz