Moiun zusammen.
Ich lese hier gerade im Königsberger (vom Springer Verlag, 6.Auflage S.14) etwas zu der Supremumseigenschaft von IR: ----jede nach oben beschränkte, nichtleere Menge M c IR besitzt ein Supremum.
Für den Beweis wird nun folgendes gemacht (ich tippe es mal ab):
_Wir betrachten den Fall einer nach oben beschränkten Menge. Das erforderliche Supremum konstruieren wir durch eine Intervallsverschachtelung [a_n;b_n] mit folgenden Eigenschaften:
(i) Alle b_n sind obere Schranken für M.
ii) Alle a_n sind keine obere Schranken für M.
…
Sei s die allen [a_n;b_n] angehörende Zahl. s ist eine obere Schranke für M. Sonst gäbe es ein Element x € M mit x>s und dazu ein Intervall [a_n;b_n] mit b_n-a_n
Fast alles finde ich logisch und nachvollziehbar, bisauf diese Ungleichung: b_n-a_n b_n-a_n
Wo kommt die her? Also ich habe für Schranken solche Sachen noch gar nicht gesehen und wundere mich jetzt - ich wüsste nämlich nicht, in welchen Fällen diese Ungleichung erfüllt wäre (ok, wenn x auch obere Schranke wäre und x>s - aber genau das will der Königsberger doch ausschließen, dass es das eben nicht gibt und darauf wird diese Ungleichung b_n-a_n_