hi ich habe ein polynom
|R --> |R
P(x) = 48x^7-10x^4+2x
und möchte prüfen ob es surjektiv ist
also für alle y element |R gibt es ein x element so dass y = p(x) ?
48x^7-10x^4+2x = y
ich wollte pas polynom zerlegen aber wie ?
ich brauche nicht die ganze lösung nur eine idee oder einen weg zur lösung
merci beaucoup
Hallo,
ich brauche nicht die ganze lösung nur eine idee oder einen
weg zur lösung
„streng monoton“ reicht?
Gruß
Martin
wenn sie streng monoton ist , dann ist sie surjektiv ?
wenn sie streng monoton ist , dann ist sie surjektiv ?
Bei Stetigkeit und strenger Monotonie auf ganz \Bbb{R} (heißt entweder fallend oder wachsend, nicht abschnittweise gemischt) sogar bijektiv.
Hallo Martin,
strenge Monotonie ist weder notwendig noch hinreichend für Surjektivität.
Notwendig nicht, weil f:R->R vermöge f(x)=(x-1)*x*(x+1) nicht streng monoton, aber offensichtlich surjektiv ist.
Hinreichend nicht, weil g:R->R vermöge g(x)=arctan(x) zwar streng monoton wachsend, aber nicht surjektiv ist (g nimmt nur Werte aus (-π/2,π/2) an).
Hinreichend für Surjektivität ist aber
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\lim_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty.
Dies ist bei der gegebenen Funktion offenbar der Fall.
Liebe Grüße
Immo
Hallo Martin,
strenge Monotonie ist weder notwendig noch hinreichend für
Surjektivität.
Richtig.
Hinreichend für Surjektivität ist aber
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\lim_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty
Aber nur bei stetigen Funktionen, ich nehme an, das hast du als gegeben vorausgesetzt.
Da
\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty
und
\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty
weißt du, dass es zu jedem z∈R a und b gibt, so dass gilt f(a)
Hallo Immo,
sorry, ja, da lag ich tatsächlich etwas daneben.
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\lim_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty
zuzüglich Stetigkeit auf \Bbb{R}
ist hinreichend für Sur jektivität.
Ist die Funktion außerdem auch noch streng monoton auf \Bbb{R} , dann ist sie sogar bi jektiv.
Dies ist bei der gegebenen Funktion offenbar der Fall.
Ja, sie erfüllt sogar alle drei Kriterien (Stetigkeit klar weil Polynom, lim… klar weil Grad = 7 ungerade, strenge Monotonie kann mit ein paar Verrenkungen bewiesen werden), ist also bijektiv.
Gruß und danke für den Hinweis 
Martin