auf Seite 137 in dem Buch „Das Mathe Gen“, beschreibt der Autor folgende Gleichung zu einem gleichseitigen Dreieck mit den Achsen X, Y und Z.
x ° v = y
Sprich x verknüpft mit v = y.
x ist in diesem Fall die Spiegelung um die X-Achse und v wäre eine Drehung um 120° im Uhrzeigersinn. Beide Transformationen nacheinander ausgeführt wäre dann gleich der Spiegelung um die Y-Achse.
Ich habe mir das mal genauer angesehen und konnte das so leider nicht nachvollziehen.
Durch das gleichseitige Dreieck verläuft von der oberen Ecke zur unteren Linie die x-Achse, von der rechten unteren Ecke zur linken Seite die y-Achse und die z-Achse von der linken unteren zur rechten Seite.
Wenn ich das gleichseitige Dreieck um die x-Achse spiegele und dann im Uhrzeigersinn um 120° drehe, warum ergibt dann das die gleiche Transformation wie wenn ich das Dreieck um die y-Achse spiegele?
Auch wenn die Erklärung für mich etwa wirr klingt, habe ich versucht eine Zeichung anzufertigen: http://mitglied.lycos.de/schachspielen/dreieck.txt (ich weiss: bin kein Picasso…). So gesehen fehlt der Hinweis auf die Punktsymmetrie (in meinem Bspl. an (0/0) ). Tja ja, jetzt bräuchte man ein Programm, dass einem die Geschichte im 2D-Raum visualisiert…(Computergeometrie als Stichwort)
Ich verstehe zwar nicht ganz, wie das Dreieck bezüglich des Koordinatensystems liegt, aber ich habe den Verdacht, dass dein Verständnisproblem von der Reihenfolge der auszuführenden Operationen herrührt.
Üblicherweise wird die Verknüpfung
f ° g ° h
von rechts nach links gelesen, das heißt, angewendet auf ein Element x aus dem Definitionsbereich von h kommt folgendes heraus:
(f ° g ° h )(x) = (f ° g)( h(x) ) = f( g( h(x) ) )
Im vorliegenden Beispiel
x ° v = y
wird demnach zuerst die Operation v und danach erst x ausgeführt.
Viele Grüße,
Jens
PS:
Manche Mathematiker haben es aber lieber, Operationen von links nach rechts zu schreiben (so wird ja schließlich auch normale Schrift gelesen). Dann wird jedoch meist nicht das Symmbol ° verwendet, sondern ein Punkt (wie bei der Multiplikation). Die Argumente von Funktionen werden dann allerdings nicht hinter den Funktionsbezeichner geschrieben, sondern davor:
ich hab mir das mal in dem Buch angeschaut und das scheint dort richtig zu sein.
Ich versuch das mal Schritt für Schritt vor zu machen.
Wir haben also ein Dreieck ABC:
C
/ \
A - B
Jetzt Spiegeln wir mal an X. Dann bekommen wir:
C
/ \
B - A
Jetzt drehen wir um die ersten 60 Grad im Uhrzeigersinn und bekommen:
B
/ \
A - C
Und jetzt nochmal um 60 Grad im Urzeigersinn:
A
/ \
C - B
Ich hab die Drehung um 120 Grad jetzt mal als zwei Drehung um 60 Grad geschrieben. Das ist ja dasselbe. Also lautet das Ergebnis von x°v :
A
/ \
C - B
Nun nehmen wir uns wieder das ursprüngliche Dreieck ABC:
C
/ \
A - B
Jetzt spiegeln wir mal an Y. Wir erhalten:
A
/ \
C - B
Das Ergebnis von y ist also:
A
/ \
C - B
Und siehe da, es ist tatsächlich dasselbe, das wir schon von x°v kennen.
Wenn ich jetzt nichts falsch gemacht habe, dann stimmt es also, dass
x°v=y ist.
Das haben wir:
C
/ \
A - B
.
> Durch das gleichseitige Dreieck verläuft von der oberen Ecke
> zur unteren Linie die x-Achse, von der rechten unteren Ecke
> zur linken Seite die y-Achse und die z-Achse von der linken
> unteren zur rechten Seite.
Also ist y zu Anfang rechtwinklig zu A - C und geht durch B
.
Das wollen wir: Spiegelung an der Gerade y
A
/ \
C - B
.
Und das geht so:
v: Drehung um 120° im Uhrzeigersinn: (120° ist eine drittel Umdrehung)
C A
/ \ =\> / \
A - B B - C
.
x: Spiegelung an der Geraden x: die Geraden x, y, z drehen sich wohl nicht mit. Also ist x nun rechtwinklig zu B-C und geht durch A
A A
/ \ =\> / \
B - C C - B
.
q.e.d.
.
Die beiden Missverständnisse waren wohl:
.
(x,y,z) ist kein orthogonales Koordinatensystem, sondern sie sind die Spiegelachsen des 3ecks.
(es ist ja auch hier nicht nötig ein Dreieck in 3 Dimensionen
darzustellen.)
.
eine Drehung um 120° ist 1/3 Umdrehung. Irgendeine Ecke zeigt also danach immernoch nach oben:
x x x x x
x x -120°-\> x x ; x x -60°-\> x
.
Ich hoffe ich konnte noch helfen.
Gruss