Hallo
Ich muss die Normalteiler der Symmetrischen Gruppe S4 sowie die der Untergruppe A4 (alternierende Gruppe) finden. Gibt es da ein Verfahren (oder weiß vielleicht jemand, welche das sind), oder muss ich das mit der Holzhammermethode durchprobieren? Und dabei hunderte von Permutationen multiplizieren?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Hallo,
das beste was mir einfällt, ist von den Konjugationsklassen von S4 bzw. A4 auszugehen (ist der Begriff bekannt - ansonsten schreib ich das noch detaillierter auf). Normalteiler sind gegenüber Konjugation abgeschlossen, d.h. für jedes Element eines Normalteilers ist dessen gesamte Konjugationsklasse auch im Normalteiler enthalten. Hat man diese Klassen bestimmt, ergeben sich Normalteiler als Vereinigung von Konjugationsklassen. Mit dem Satz von Langrange kann man häufig unmögliche Kombinationen von Konjugationsklassen fix ausschließen.
Der Ansatz scheint mir zumindest „konstruktiver“, als sämtliche Untergruppen auf Normalteilereigenschaft zu überprüfen.
Gruss
Enno
Hallo, also es können ja eh nur solche Gruppen Normalteiler sein, die zum einen eine Untergruppe sind, und das sind bei S4 und A4 nicht viele und ausserdem muss |G| ein Teiler von |A4| (bzw. S4) sein. und da bleiben jetzt wirklich kaum mehr welche übrig. überlegs dir mal auf die weise, und wenn du nicht weiterkommst verrat ich dir des rätsels Lösung 
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naja eigentlich hast du schon recht das des konstuktiver ist, aber bei s4 und a4 gibts eh bloß 2 UGR( mal über den daumen gepeilt), also würd ich mit die konjugationsrechnerei in diesem fall sparen
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Hallo,
ein paar mehr gibt es schon:
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/alg/s_4…
Gruss
Enno
Die Untergruppen habe ich, das ist nicht das Ding. Das Problem sind eben die Normalteiler.
Hallo
Danke schonmal. Kunjugationsklassen habe ich mir gerade durchgelesen. Kannst Du mir vielleicht noch sagen, wie ich unmögliche Klassen ausschließen kann?
Hallo,
einfach über den Satz von Lagrange bzw. die Ordnung jeder Untergruppe (und damit auch jedes Normalteilers) teilt die Ordnung von S4 (also 24). Die Konjugationsklasse der 1 (also der identischen Abb. - im Falle von S4 umfaßt die gerade dieses Element) muß immer im Normalteiler enthalten sein. Jetzt nimmt man eine beliebige Konjugationsklasse und bildet den Abschluß. Für jedes neue Element wird deren gesamte Konjugationsklasse hinzugefügt. Überschreitet man bei diesem Erzeugungsprozeß 14 Elemente müßte der Normalteiler mit S4 identisch sein.
Gruss
Enno
Korrektur
Hallo,
Überschreitet man bei diesem Erzeugungsprozeß 14 Elemente müßte der Normalteiler mit S4 identisch sein.
12 hört sich besser an (sollte doch einen Taschenrechner für die Grundrechenarten verwenden *g*).
Gruss
Enno
aber viele sinds nun mal wirklich ned, wenn man sich dann die ordnungen anschaut bleibt ned viel zum testen übrig…
aber die Grafik gfällt mir. bist du in bielefeld an der Uni? echt coole Grafik, respekt 
Hallo,
ein paar mehr gibt es schon:
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/alg/s_4…
Gruss
Enno
Hallo,
nein ich bin mittlerweile im hirnabtötenden Berufsleben *g*. An die Graphik konnte ich mich noch erinnern, die wurde vor einiger Zeit in einen anderen Forum gespostet (dort waren alle Untergruppen von S4 gesucht).
Es gab (zumindest vor einigen Jahren) ganz nette Software an der TU-Darmstadt (ehemals THD) zum plotten von Verbandsdiagrammen. Die hatte ich als Studi in einer Vorlesung „formale Begriffsanalyse“ (Wille/Ganter) kennengelernt.
Gruss
Enno