Hallo,
was bringt die Beschreibung Hamiltonscher Systeme mittels symplektischer Geometrie?
Ist das nur ein abstrakter Formalismus, der elegant zur Schrödinger Gleichung führt oder gibt es noch andere (praktische) Vorteile??
Wär schön, wenn jemand dazu was sagen könnte.
Gruß
Oliver
Hallo Oliver,
Ist das nur ein abstrakter Formalismus, der elegant zur
Schrödinger Gleichung führt oder gibt es noch andere
(praktische) Vorteile??
mir stellen sich solche Fragen speziell in der Mechanik sogar schon einige
(Abstraktions)Ebenen tiefer…ich denke für das Wort „praktisch“: ob das
ein Ingenieur gebrauchen kann.
Es gibt ja den Lagrange-, den Hamilton-, den Poisson- und den Hamilton-Jacobi-Formalismus in der Mechanik. Bei den Ingenieuren (Mechaniker,
Masch-Bauer) ist m.W. erst der Lagrange-Formalismus „angekommen“ - er ist
ja intuitiv auch am nächstgelegenen. Der Hamilton/Poisson-Formalismus ist
der lehrbuchmäßige Startpunkt, um QM und QFT zu begründen. Historisch
waren es die Wirkungswellen (die Funktion S(x,t) ) des Hamilton-Jacobi-Formalismus`, die Schrödinger und Kollegen zur QM geführt haben.
Wenn man einen (neuen) Formalismus bastelt und alte Dinge in einer neuen
Sprache ausdrückt, so hat das meistens „nur“ den Effekt, daß mathematische
Strukturen besser sichtbar werden, aber nicht unbedingt, daß sich bestimmte
Anwendungen leichter rechnen lassen.
Was z.B. das „leichter Rechnen“ ganz explosiv ermöglicht hat, ist die Verwendung von Vektoren statt der Komponenten. Ich staune immer wieder, wie
in alten Lehrbüchern des 19. Jahrhundert (bis Planck und Sommerfeld) sie alle
beharrlich in drei Komponenten ihre Formeln ausgeschrieben haben, wie wenn ihnen
einfach nicht auffallen wollte, daß die Komponentengleichungen sich immer
furchtbar ähneln. Heute rechnen auch Ingenieure (
) mit Vektoren, weil
sie eine echte Vereinfachung darstellen.
Dagegen rechnet kaum jemand elektrodynamische Aufgabenstellungen in kovarianter
Notation, obwohl hier die Forminvarianz unter der Lorentz-Gruppe ästhetisch
aufgedeckt ist.
Zur symplektischen Geometrie weiß ich nur soviel, daß sich gekrümmte Raum-Zeit
in diesem Formalismus leicht verarbeiten läßt, andererseits QM und QFT sich
ebenfalls in dieser Sprache ausdrücken lassen - so daß man eine Option hat,
Quantentheorie auf gekrümmter Raum-Zeit zu betreiben. Am MPI für Mathe in
den Naturwissenschaften in Leipzig gibt es eine Arbeitsgruppe, die sich
damit befaßt (- zu dieser gehöre ich aber nicht 
), vielleicht gibt es
dort im WWW leichter verständliche Informationen.
Wegen der Ingenieure: Ich hab Physik an einer Technischen Hochschule studiert
(damals TH Darmstadt, jetzt TU) - deshalb meine Anspielungen
Gruß
Stefan
Hallo,
dieser Absatz:
Zur symplektischen Geometrie weiß ich nur soviel, daß sich
gekrümmte Raum-Zeit
in diesem Formalismus leicht verarbeiten läßt, andererseits QM
und QFT sich
ebenfalls in dieser Sprache ausdrücken lassen - so daß man
eine Option hat,
Quantentheorie auf gekrümmter Raum-Zeit zu betreiben.
hat mir sehr geholfen. Danke.
Zusätzlich fällt noch auf, dass je nach Vektorraum und dazugehöriger symplektischer Form, man die verschiedenen Formalismen erhält:
Im Falle des klassischen Phasenraums ergeben sich die klassischen Hamiltonschen Gleichungen und im Falle des quantenmechanischen Zustandsraum ergibt sich die Schrödinger Gleichung.
Die symplektische Geometrie ist also sowas wie der gemeinsame „Großvater“.
Gruß
Oliver