Tangente an Graphen anlegen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo nochmal!
Danke erstmal für die guten Antworten zu meiner Frage vorhin. Nun habe ich noch eine Frage, da ich nächste Woche eine Matheklausur schreibe, knubbelt es sich etwas…

Es geht darum, eine Tangente von einem Punkt P an eine Funktion bzw. einen Graphen anzulegen:
P (0/-1) und f (x) = x²
Dabei habe ich schon herausgefunden, dass die Tangente von P f(x) wohl im Punkt (1/1) berühren muss. Wie das jedoch rechnerisch geht, weiß ich aber nicht.

Deshalb komme ich bei der selben Aufgabenstellung in schwieriger nicht weiter:

P (-1/ 7/8) und f(x) = - 1/8 x³ + 3/4 x²
Auch hier soll es wieder eine Tangente geben, die durch P geht und die Kurve f(x) etwa zw. x = 3-4 berühren sollte.

Danke für eure Hilfe!!

Chris

#2

Auch hallo.

Es geht darum, eine Tangente von einem Punkt P an eine
Funktion bzw. einen Graphen anzulegen:
P (0/-1) und f (x) = x²
Dabei habe ich schon herausgefunden, dass die Tangente von P
f(x) wohl im Punkt (1/1) berühren muss. Wie das jedoch
rechnerisch geht, weiß ich aber nicht.

…und was ist mit (-1/1) ? Ausserdem haben die Tangente und der
Berührpunkt mit der Funktion in ebendiesem dieselbe Steigung (=f’(x))
Die Punkt-Steigungsformel könnte auch weiterhelfen :wink:

Deshalb komme ich bei der selben Aufgabenstellung in
schwieriger nicht weiter:

P (-1/ 7/8) und f(x) = - 1/8 x³ + 3/4 x²
Auch hier soll es wieder eine Tangente geben, die durch P geht
und die Kurve f(x) etwa zw. x = 3-4 berühren sollte.

f’(x)=-3/8*x^2+6/4*x
Ein Plotter: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm
Zudem kann es mehrere Tangenten geben…

HTH
mfg M.L.

#3

Hi!

Ja ein Plotter habe ich auch auf dem Computer, aber der hilft mir nicht weiter in einer Klausur z. B.
Der Punkt (-1/1) ist natürlich auch ein Berührpunkt bei der ersten Aufgabe.
Was mir derzeit einfach fehlt, ist der Weg, mit dem ich die Tangentengleichung herleite, ohne Plotter und raten usw.
Das mit der gleichen Steigung finde ich interessant, aber wie setzt man das dann rechnerisch um?

#4

Hallo.

Ja ein Plotter habe ich auch auf dem Computer, aber der hilft
mir nicht weiter in einer Klausur z. B.
Der Punkt (-1/1) ist natürlich auch ein Berührpunkt bei der
ersten Aufgabe.
Was mir derzeit einfach fehlt, ist der Weg, mit dem ich die
Tangentengleichung herleite, ohne Plotter und raten usw.
Das mit der gleichen Steigung finde ich interessant, aber wie
setzt man das dann rechnerisch um?

Stichwort Punkt-Steigungs-Formel: http://de.wikipedia.org/wiki/Punktsteigungsformel

In der zweiten Aufgabe fehlt ein bestimmter Punkt auf f(x) um eine eindeutige Lösung zu bekommen (Funktionenschar)

HTH
mfg M.L.

#5

So geht es :smile:
Hallo,

Es geht darum, eine Tangente von einem Punkt P an eine
Funktion bzw. einen Graphen anzulegen:
P (0/-1) und f (x) = x²
Dabei habe ich schon herausgefunden, dass die Tangente von P
f(x) wohl im Punkt (1/1) berühren muss. Wie das jedoch
rechnerisch geht, weiß ich aber nicht.

Zunächst einmal ermittet Du die allgemeine Geradengleichung durch den Punkt P(0|-1):

 g(x) = mx - 1

Hierin ist die Steigung m unbekannt.

Wenn du nun deine Funktion f(x) ableitest, so erhält Du Steigung der Tangente an diesem Punkt:

 f'(x) = 2x

Die Steigung an deinem gesuchten Schnittpunkt (Steigung der Geraden g(x)) ist aber gleich der ersten Ableitung an diesem Punkt:

2x = m

Du suchst ja den Schnittpunkt der beiden Funktionen, d.h. Du musst die beiden Funktionen gleichsetzen:

 f(x) = g(x)

x<sup>2</sup> = mx - 1 mit: m = 2x

x<sup>2</sup> = 2x<sup>2</sup> - 1

---\> x<sub>1,2</sub> = +- 1

Gruß,

Pierre