Hallo ihr fröhlichen Mathematiker…
gleich voraus: dies ist keine Hausaufgabenerledigung… 
Wie kann ich den Berührpunkt von jeweils einer Tangente der Normalparabel ausfindig machen und die Funktionsgleichung der Tangenten heraus finden, wenn nur
-P(-0,5|-2) als Punkt, durch den BEIDE Tangenten verlaufen
und
-y=x²
gegeben sind?
Vieeeeeeeelen Dank!
Ingmar
PS: Bin eben in einem Buch über diese Aufgabe gestolpert und seitdem will sie mir nicht mehr aus dem Kopf gehen!
Schaun mer mal:
Ich nehme an, dass der Punkt -P(-0,5|-2) das gleiche ist wie der Punkt +P(0,5|2), weil der Punkt bei (-0,5|-2) „innerhalb“ der Parabel liegt, also Teil keiner Tangente sein kann. Zur Verallgemeinerung bezeichne ich die Koordinaten des Punkts P als xp|yp.
Die Funktion -y=x² ist das selbe wie y=-x², also eine nach unten offene Normalparabel. Ich schreibe sie als f(x) = -x².
Die Tangente ist ein Gerade mit der Gleichung g(x) = m*x+b, wobei m die Steigung und b der Achsenabschnitt der geraden ist.
Bedingung 1:
die Tangenten gehen durch P
g(xp) = yp
m*xp + b = yp
Bedingung 2:
die Tangenten berühren die Funktion f in genau einem Punkt F mit den Koordinaten F = (xf|yf), wobei yf = f(xf)
g(xf) = yf = y(xf)
m*xf + b = -xf²
Bedingung 3:
Die Steigung m der Tangenten ist gleich der Steigung der Funktion f im Punkt F (mit anderen Worten: die Ableitung von f (= -2x) bei xf ist gleich m)
m = f’(xf) = -2*xf
m aus Bedingung 3 eingesetzt in Bedingung 2:
(-2*xf)*xf + b = -xf²
-2*xf² + b = -xf²
b = xf²
und schon kennen wir b in Abhängigkeit von xf (was wir noch nicht kennen)
m und b eingesetzt in Bedingung 1:
-2*xf*xp + xf² = yp
da haben wir eine quadratische Gleichung mit xf als Unbekannter:
xf² - 2*xf*xp - yp = 0
Die lässt sich nach xf auflösen:
xf[1,2] = ( 2*xp plusminus Wurzel(4*xp²+4*yp) )/2
vereinfacht
xf[1,2] = xp plusminus Wurzel(xp²+yp)
Lösungen für xf (xp und yp von oben eingesetzt):
xf[1] = 0.5 + Wurzel(0.25+2) = +2
xf[2] = 0.5 - Wurzel(0.25+2) = -1
Es gibt also tatsächlich zwei Tangenten von f, welche durch P gehen. Wie du siehst, lässt sich die Gleichung nicht lösen, wenn du für P = (-0,5|-2) einsetzt, weil dann der Radikant negativ wird.
Die Lösungen für yf gibts durch Einsetzen von xf in f(x):
yf[1] = f(xf[1]) = f(+2) = -(+2)² = -4
yf[2] = f(xf[2]) = f(-1) = -(-1)² = -1
m und b kannst du durch Einsetzen von xf in m = f’(xf) = -2*xf bzw. b = xf² (siehe oben) berechnen:
für xf[1]:
m = -2*xf[1] = -2*2 = -4
b = xf[1]² = (-2)² = 4
für xf[2]:
m = -2*xf[2] = -2*(-1) = 2
b = xf[2]² = (-1)² = 1
Biiiiiitte schön!
Jochen
… nur für den Punkt P tatsächlich (-0,5/-2) nehmen, da in der Funktionsgleichung das Minus vor dem y wohl als Aufzählungszeichen steht und es sich also wirklich um die Normalparabel y=x^2 handelt… 
Ich nehme an, dass der Punkt -P(-0,5|-2) das gleiche ist wie
der Punkt +P(0,5|2), weil der Punkt bei (-0,5|-2) „innerhalb“
der Parabel liegt, also Teil keiner Tangente sein kann.
Die Funktion -y=x² ist das selbe wie y=-x², also eine nach
unten offene Normalparabel. Ich schreibe sie als f(x) = -x².
Schönen Gruß
Andre
… nur für den Punkt P tatsächlich (-0,5/-2) nehmen, da in
der Funktionsgleichung das Minus vor dem y wohl als
Aufzählungszeichen steht und es sich also wirklich um die
Normalparabel y=x^2 handelt…
das is ja auch gemein!
sagt der Jochen
=:wink: