Ich weiß, hausaufgaben soll man alleine lösen aber ich komm einfach nicht drauf und soll das ganze auch noch nächste Woche vorrechnen.
Die Aufgabe:
Die Gerade x=a schneidet die Kurve y=ln(x) in Q und die x-Achse in R; Die Kurvennormale in Q schneidet die X-Achse in S. Bestimme a so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks QRS extrem ist. Welches Extremum liegt vor?
Mein Ansatz:
Dreiceksfläche= 1/2*g*h
In diesem Fall: 1/2*ln(a)*normalengleichung an der stelle x=0
Das Ganze ableiten und nach Extremas gucken…
Alles noch klar…
Nur bin ich mir recht unsicher und finde die extrema nicht^^
Die allg. Tangentengleichung ist ja:
t(x)=f’(x0)* (x-x0) + f(x0)
Übertragen auf den Fall müsste es ja dann heißen:
t(x)= 1/a * (x-a) + ln(a);
Die Normale n(x) wäre damit:
n(x)= - 1/((1/a * (x-a)))+ ln(a);
Aufgelöst nach x wäre es dann (da n(x) = 0):
x = a/(ln(a)+1)
wobei x die normalengleichung an der Stell 0 ist
somit ist die Dreiecksfläche ja:
1/2*g*h => 1/2 * ln(a) * a/(ln(a)+1)
Der letzte Schritt an den ich komme ist bei der Ableitung der Dreiecksfläche
Nun, du hast mich zwar direkt angeschrieben, aber mir fehlt etwas Zeit, dir deine Frage vollends zu beantworten. Eigentlich bist du sogar besser qualifiziert, diese Aufgabe zu lösen.
Was ich aber weiß, ist, dass es mehrere Extremstellen sein müssen.
Zeichne die Kurve ln(x).
Sie schneidet die Abszisse in x=1.
Wäre a=x=1, so liegt ein Minimum vor, denn die Kurvennormale in x=1 muss zwangsläufig die Abszisse in x=1 schneiden. Und damit wäre die Dreiecksfläche = 0 (Null).
Genauso verhält es sich, wenn du den Grenzwert der Funktion (y=ln(x)) findest. Dann wäre die Kurvennormale in diesem Punkt auch eine Lotrechte zur Abszisse und damit würde wiederum ein Minimum vorliegen. Dies wäre dann bei x=unendlich.
Nun bleibt nur noch die Möglichkeit, ein Maximum zu finden.
Wenn ich mich jetzt nicht täusche, muss dies bei a=0 liegen.
Ich will jetzt nur damit zum Ausdruck geben, dass ich mir allgemein darüber Gedanken gemacht habe, also eine Zeichnung mit den nötigen Informationen versehen habe.
Ich habe dann a an die verschiedenen Stellen gesetzt, und analysiert.
Trotzdem würde ich diese Aufgabe nochmal „öffentlich“ stellen.
Wenn ich dir nicht helfen konnte, tut es mir leid.
LGR
tut mir Leid, dass ich erst so spät antworte, aber ich habe diese Frage erst jetzt gesehen.
-Der Ansatz lautet:
A(a)=0.5*ln(a)*(x(S)-1)
-Die Normale ist:
n(x)=-ax+b mit Q(a|ln(a)) folgt: n(x)=-ax+a²+ln(a)
-Daraus folgt die Nullstelle x(S):
x(S)=a+ln(a)/a
-Damit lässt sich das Problem lösen:
A(a)=0.5*ln(a)*(a+ln(a)/a-1)
Siehe auch: http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fda+%280.5*l…