Hallo,
Nur… wie bringe ichd as
jetzt alles zusammen, damit ich die Gleichung der Tangente erhalte.
ganz allgemein ist die beste Methode immer, zuerst einen piksauberen Ansatz zu Papier zu bringen, indem die textmäßig gegebenen Informationen präzise formalisiert, d. h. in Gleichungen (oder auch Ungleichungen) „übersetzt“ werden. Dabei konzentriert man sich nur auf ebendiese Aufgabe.
In Deiner Aufgabe geht aus dem Text unmittelbar hervor:
(1) Die Funktionsgleichung der gegebenen Funktion.
(2) Wonach gefragt ist: Eine Tangente ist zu bestimmen.
(3) Die Zusatzbedingung „Tangente geht durch den Ursprung“.
Eine der Spielregeln lautet, dass Du Fachbegriffe „dekodieren“ können musst, hier „Tangente“. Wenn keine Hilfsmittel erlaubt sind, musst Du sie aus dem Gedächtnis parat haben („Unzulänglichkeiten“ bzgl. dieses Punktes sind von Übel). Aber Du weißt ja, was Tangente bedeutet, nämlich: eine Gerade, die in einem bestimmten Punkt eine Kurve berührt (d. h. nicht schneidet). Das wiederum heißt: Die Tangente hat in diesem Punkt denselben Funktionswert wie die Kurve, und ihre Steigung stimmt mit der ersten Ableitungen der Kurve überein. Der zweite Teil ist genausowichtig wie die erste; er schließt aus, dass der Punkt ein Schnittpunkt ist.
Wenn das alles klar ist, steht die „Übersetzung in Mathe“ an:
(1) f(x) = 1/x2 e–1/x
(2a) g(x) = a x + b
(2b) g(xB) = f(xB) mit xB = x-Koordinate des Berührpunktes
(2c) g’(xB) = f’(xB)
(3) g(0) = 0
Wir dürfen annehmen, dass die in diesem Set von Gleichungen enthaltene Information „komplett“ ist, d. h. ausreicht, um die Aufgabe lösen zu können. Sollte das wider Erwarten nicht stimmen, würden wir das definitiv an irgendeiner Stelle der Rechnung merken (dort „ginge es dann nicht weiter“). Dann wäre nachzuforschen, ob noch irgendeine Information im Aufgabentext „versteckt“ enthalten ist.
Jetzt erst folgt die eigentliche Rechnung.
Zunächst die beiden Ableitungen:
f’(x) = –1/x4 (2 x – 1) e–1/x
g’(x) = a
Außerdem können wir (3) ausnutzen. Damit reduziert sich g(x) = a x + b sofort auf
g(x) = a x
Nun haben wir uns um die beiden gehaltvollen Gleichungen (2b) und (2c) zu kümmern – sonst wäre auch gar nichts anderes da zum kümmern.
a xB = 1/xB2 e–1/xB
a = –1/xB4 (2 xB – 1) e–1/xB
Die erste Gleichung lässt sich noch minimal vereinfachen:
a = 1/xB3 e–1/xB [
]
a = –1/xB4 (2 xB – 1) e–1/xB
Das sind zwei Gleichungen für zwei Unbekannte, nämlich a und xB. Mit der Besonderheit hier, dass auf den linken Seiten dasselbe steht (a). Also erübrigen sich – ansonsten notwendige – Umformereien; wir können sofort die beiden rechten Seiten gleichsetzen:
1/xB3 e–1/xB = –1/xB4 (2 xB – 1) e–1/xB
⇔ 1/xB3 = –1/xB4 (2 xB – 1)
⇔ 1 = –1/xB (2 xB – 1)
⇔ xB = –(2 xB – 1)
⇔ xB = –2 xB + 1
⇔ 3 xB = 1
⇔ xB = 1/3
Damit wäre die Berührstelle dingfest gemacht: Ihre x-Koordinate ist 1/3.
Es fehlt nicht mehr viel, nämlich nur noch die Tangentensteigung a. Sie folgt z. B. aus []:
a = 1/(1/3)3 e–1/(1/3) = 33 e–3 = 27 e–3 ≈ 1.34425
Ergebnis: Die Gleichung der gesuchten Tangente lautet
g(x) = 27 e–3 x
Auf Richtigkeit überprüfen könnte man das Resultat leicht, indem man einen Funktionenplotter mit 1/x2 e–1/x und 27 e–3 x füttert und die beiden in ein gemeinsames Koordinatensystem gezeichneten Graphen in Augenschein nimmt.
Diese Vorgehensweise hat sich bewährt. Unter der Voraussetzung, dass der Ansatz richtig ist (das ist wichtig!) und anschließend keine Fehler beim Umformen passieren (das auch!), führt diese Methode übrigens immer und garantiert zum richtigen Ergebnis. Das ist das Angenehme daran 
Gruß
Martin
PS: Die y-Koordinate des Berührpunktes ist übrigens 9 e–3 ≈ 0.44808. Das auszurechnen überlasse ich Dir.