Tangentialebene

Wissenschaft Physik
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Gegeben ist die Funktion f(x,y)=y²+3x-2

Berechnet habe ich den Gradienten zu: grad f(x,y)= ( 3 2y)^T
(dies war die aufgabenstellung in b), in a) sollte ich zeichnen)

Nun soll ich(in c)) die Tangentialebene zu der Funktion f(x,y) im Punkt (2, 3, 13) berechnen.

(Sie ergibt sich zu 3x+6y-z-11=0 laut Lösung
was mir unkar ist!)

Nun gut… wenn ich den Punkt in den Gradienten einsetze, was den Normalenvektor auf die Ebene die ich suche ergibt, ergeben sich für mich die koeffizienten von x und y als 2 und 6…
dies wär die halbe miete, wobei ich nicht weiß ob meine denkweise stimmt!
mein problem ist: wie kann ich einen dreidimensionalen punkt in einen zweidimensionalen gradienten einsetzen?! ich habe bereits versuche gestartet den gradienten grad f(x,y,z) meiner ursprungsfunktion zu berechnen, wobei sich meine letzte spalte des grad zu „0“ ergibt (ich leite f(x,y) nach z ab) aber ich komme nicht darauf wie das fuknktionieren soll! Ausserdem sollte ich in b) den grad f(x,y) berechnen, und die aufgaben sind halbwegs linear aufgebaut, d.h. ich bezweifle dass die mich in b) den den grad f(x,y) berechnen lassen würden wenn ich in c) den grad f(x,y,z) brauchen würde!
kann mir jemand helfen? wär super!

gruß sendog!

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Hallo,

Du hast ja z=y²+3x-2, das kann man zunächst mal in der impliziten Form schreiben:

3x+y²-z-2=0

Der Normalenvektor auf die so beschriebene Fläche ist der Gradient. Den bekommst Du, wenn Du die linke Seite nach allen 3 Variablen ableitest. Er hat also die Komponenten
3, 2y, -1

In dem gegebenen Punkt ist das dann

3, 6, -1

Das ist dann auch gleichzeitig der Normalenvektor zu der gesuchten Tangentialebene.
Dieser Normalenvektor steht nun senkrecht auf allen Vektoren, die in dieser Ebene liegen. Das Skalarprodukt zwischen diesem Vektor und jedem beliebigen Vektor in der Ebene ist also 0.
Nun stell Dir einen beliebigen Punkt (x,y,z) auf der Ebene vor und dazu noch diesen einen gegebenen Punkt (2,3,13). Die Differenz der Ortsvektoren zu diesen beiden Punkten ist also immer ein Vektor, der auf der Ebene liegt. Es gilt also

(x-2,y-3,z-13) mal (3,6,-1) = 0

„mal“ heisst Skalarprodukt. Also:

3(x-2) + 6(Y-3) - (z-13) = 0

Naja, und ausmultipliziert ergibt das eben

3x+6y-z-11=0

OK?
Olaf

3

Gegeben ist die Funktion f(x,y)=y²+3x-2

Berechnet habe ich den Gradienten zu: grad f(x,y)= ( 3, 2y)^T

Ja.

Nun soll ich(in c)) die Tangentialebene zu der Funktion f(x,y)
im Punkt (2, 3, 13) berechnen.

Check: f(2, 3) = 3² + 3*2 - 2 = 13. In Ordnung, P( 2 | 3 | 13 ) ist ein Punkt auf der durch f(x, y) definierten Fläche, die in den R³ eingebettet ist (man kann es sich anschaulich als „Gebirge“ vorstellen).

(Sie ergibt sich zu 3x+6y-z-11=0 laut Lösung was mir unkar ist!)

Der Gradient von f hat an der Stelle (2, 3) den Wert (3, 2y) = (3, 6).

Somit lautet die Linearisierung von f für diese Stelle

f(x, y) = f(xP, yP) + 3 (x – xP) + 6 (y – yP)

= 13 + 3 (x – 2 ) + 6 (y – 3 )

= 13 + 3 x + 6 y - 24

= 3 x + 6 y – 11

Ergebnis: z = 3 x + 6 y – 11 oder 3 x + 6 y – z – 11 = 0 ist die gesuchte Gleichung der Tangentialebene im Punkt P.

mein problem ist: wie kann ich einen dreidimensionalen punkt
in einen zweidimensionalen gradienten einsetzen?!

Das kannst Du natürlich nicht und es ist auch niemals erforderlich.

bereits versuche gestartet den gradienten grad f(x,y,z) meiner
ursprungsfunktion zu berechnen,

Deine Funktion f(x, y) hängt von zwei Variablen ab. Dann hat der f-Gradientenvektor genau zwei Komponenten.

Die lineare Approximation einer einvariabeligen Funktion f(x) für die Stelle x0 ist gegeben durch

f(x) = f(x0) + f’(x0) (x – x0)

oder (nur alternative Notation)

f(x) = f(x0) + df/dx |x0 (x – x0)

Es handelt sich natürlich um nichts anderes als die Taylorentwicklung von f: f(x0) ist das Nullte-Ordnung-Glied, rechts vom „+“ steht das Erste-Ordnung-Glied, nach dem die Entwicklung abgebrochen wird.

Für skalare Felder Φ( r ) verallgemeinert sich das zu

Φ( r ) = Φ( r 0) + ∇  Φ |r0 · ( r – r 0)

mit ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

ist die Linearisierung des Feldes Φ( r ) im Punkt r 0, wobei „·“ das Skalarprodukt bezeichnet.

Das ist sozusagen der Kern dessen, was man über das Konstrukt Gradient wissen muss ⇒ verstehen, merken und nie wieder vergessen :smile:

Gruß
Martin

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Danke euch vielmals Leute!
habt mir super geholfen!

gruß