Nachdem sich Tante Frieda von ihrem Besuch erholt hat, ist sie endlich mal zum Artzt gegangen. Der hat ihr Diät verordnet. Ab sofort muß sie u.A. ihr täglichen Glas Wein auf die Hälfte reduzieren. Sie hat dem Artzt versprochen, sich genau daran zu halten, aber es gibt da ein Problem:
Die einzigen Weingläser, die sie hat, haben eine etwas ungünstige Form. Von oben gesehen hat die Innenseite des Glases eine Art Zykloidenform. Genau genommen handelt es sich um die Außenlinie, die man erhält, wenn man von 7 gleichen Münzen 6 um die 7. herum anordnet. Wenn das Glas voll ist, ist der Füllstand ab Boden genau 10 cm. In 10 cm Höhe ist der „Durchmesser“ des Glases 6 cm. Das Glas verjüngt sich linear nach unten (die Form der Querschnittsfläche bleibt gleich) und hat am Boden nur noch 3 cm Durchmesser. Der Durchmesser wird jeweils zwischen den äußersten Punkten zweier gegenüberliegenden Kreissegmente gemessen.
Frage: Wie hoch darf Tante Frieda ihr Weinglas auffüllen, um sich genau an ihre Diät halten und trotzdem jeden Tag ihr „Glas Wein“ trinken zu können ?
Frage: Wie hoch darf Tante Frieda ihr Weinglas auffüllen, um
sich genau an ihre Diät halten und trotzdem jeden Tag ihr
„Glas Wein“ trinken zu können ?
Also, das kann ich bestimmt nicht ausrechnen. Vielleicht sollte sie das Glas um 90 Grad drehen und die Öffnung zur Hälfte abdecken, dann kann sie es bis dahin mit Wein füllen…
Das kannst Du bestimmt. Höhere Mathematik ist dazu jedenfalls nicht nötig. Die Rechnung ist auch so übersichtlich, daß man sie bequem hier posten kann.
Vielleicht
sollte sie das Glas um 90 Grad drehen und die Öffnung zur
Hälfte abdecken, dann kann sie es bis dahin mit Wein füllen…
Das würde eine kultivierte Dame wie Tante Frieda zwar nie tun, aber dann stellt sich immer noch die Frage, wie hoch der Wein steht, wenn sie das Glas wieder hinstellt.
Tante Frieda füllt das Glas einfach bis zur Höhe (in cm) 10 *
(9/2)1/3. Oder habe ich mich da verrechnet ?
eigentlich ist Tante Frieda viel raffinierter. Sie nimmt sich eine Kokosnuß der Sorte „Giant Large Astro Size“, kurz „GLAS“ (finnische Neukreation), halbiert sie, entfernt sorgfältig die (leider etwas wässrig gewordene) Füllung, und schon hat sie ein halbes GLAS, aus dem sie wunderbar ihren Wein trinken kann.
Jetzt gibt es nur noch zwei Probleme:
1.) muß sie jetzt täglich ein neues Faß Bordeaux anfordern, und
2.) hat sie schon nach einem Bruchteil der täglichen Dosis starke Schwierigkeiten, ihr GLAS festzuhalten…
Cheatah, kennt jemand ein gutes Fleckenmittel für Tante Frieda?
eigentlich ist Tante Frieda viel raffinierter. Sie nimmt sich
eine Kokosnuß der Sorte „Giant Large Astro Size“, kurz „GLAS“
(finnische Neukreation), halbiert sie, entfernt sorgfältig die
(leider etwas wässrig gewordene) Füllung, und schon hat sie
ein halbes GLAS, aus dem sie wunderbar ihren Wein trinken
kann.
ich sag ja schon immer, daß die Probleme dieser Welt wesentlich dadurch verkompliziert werden, daß Kokosnüsse heutzutage in wissenschaftlichen und philosophischen Diskursen kaum mehr eine Rolle spielen !
eljot
Liga zur Wiedereinführung von Kokosnussplantagen in Niederbayern
ich sag ja schon immer, daß die Probleme dieser Welt
wesentlich dadurch verkompliziert werden, daß Kokosnüsse
heutzutage in wissenschaftlichen und philosophischen Diskursen
kaum mehr eine Rolle spielen !
eljot
Liga zur Wiedereinführung von Kokosnussplantagen in
Niederbayern
Vorstand
Wie wäre es mit einem Brett für Kokosnussfetischisten?
Das kannst Du bestimmt. Höhere Mathematik ist dazu jedenfalls
nicht nötig. Die Rechnung ist auch so übersichtlich, daß man
sie bequem hier posten kann.
heute ist es wie verhext, steh ich so auf der leitung? zuerst der eljot mit seinem kokoswettbewerb, wo mir die eindeutigkeit nicht einleuchten wollte und jetzt das:
ich weiß ja nicht, wo bei dir die höhere mathematik anfängt, aber die lösung einer gleichung dritten grades wäre da nach meinen mathekenntnissen schon einzubringen (möglicherweise gibt es da einen trick, den ich übersehen hab).
ich hab´ nicht gelöst, sondern mit excel etwas angenähert, schließlich ist auch die einschenkpräzision älterer damen nicht unendlich genau.
jedenfalls sollte die tante noch spielend zweihundert werden, wenn sie sich in guter näherung das glas 6,5 cm hoch anfüllt, da hat sie sogar noch etwas sicherheitsspielraum.
3 Vorschläge für Tante Frieda
Lösung 1 : Die Tante hat doch sicher noch ein 2.Glas der selben Sorte. Danebenstellen und mittels einer Pipette Tropfen für Tropfen umtröpfeln, bis der Weinstand in beiden Gäsern gleich hoch ist.
Lösung 2 : Wein in eine Würfelform kippen, in die Tiefkühltruhe, warten, Weineiswürfel sorgfältig mittels Schublehre und Laserpointer halbieren. So kann man den Weinkeller der Tante „auf einen Schlag“ in korrekte Tabesportionen einteilen.
Lösung 3 : Die Tante einige Gläser auf ex trinken lassen und die durchschnittliche Leerungszeit bestimmen (sei z.B. x sec). Wecker jeden zweiten Tag auf 24.00 Uhr - x/2 sec stellen. Wenn der klingelt muß die Tante blitzschnell zum Glas greifen und >runter damit
… bevor die Sache in Vergessenheit gerät. Daß ich fießerweise solche Weingläser in Tante Friedas Schrank gestellt habe, hat natürlich einen Grund. Sie hätten auch einfach kegelförmig sein können, aber dann hättet ihr die Formeln ja einfach aus einer Formelsammlung abschreiben können. Das hätte dann nichts mehr mit Denksport zu tun. Die Berechnung des Weinglasvolumens ist in der Tat sehr aufwendig, aber danach ist auch nicht gefragt
Vor dem Aufstellen von Gleichungen ist schon ein bischen Überlegung erforderlich. Das Lösen der Gleichungen selbst ist das geringste Problem.
Das kommt schon ganz gut hin, aber es ist ja ein
mathematisches Rätsel und hat in diesem Fall eine exakte
Lösung.
Jörg
also schön:
die gesuchte höhe h ergibt sich als reale lösung aus der
gleichung:
0,09h^3+2,7h^2+27h-315=0
bei der ich mir die freiheit genommen habe, nicht weiter
herumzurechnen, weil mir das tantchen nicht wert war und noch
ist.
selbiges ergibt sich aus folgenden überlegungen:
sämtliche körper, die unten eine fläche und oben einen punkt als
begrenzung haben, haben ein volumen von
1/3*grundfläche(f)*höhe(h).
das gegebene volumen ist die differenz aus zwei solchen körpern.
alternativ hätte man auch mit den formeln für kegel und
pyramidenstümpfe arbeiten können, aber ich hab keine zur hand.
die grundfläche f ist proportional zum quadrat des durchmessers
d.
zwischen dem durchmesser und der höhe besteht ein linearer
zusammenhang der form h=3+3/10*d.
die höhe beim gegebenen volumen ist 10, gesucht wird die höhe bei
halbem volumen.
das einfache umformen gibt obiges. ich habe dann alles einer
graphischen näherungslösung zugeführt, weil ich noch immer keine
formelsammlung habe und schon seit gut 20 jahren keine
gleichungen dritten grades mehr lösen mußte.
nachdem ich tantchen nach wie vor nicht zutraue, daß sie auf
millimeterbruchteile genau einschenken wird, überlasse ich die
exakte lösung den mathefreaks.
ist das ausreichend?
und mit welchem trick geht es für ein halbes volumen einfacher?
Bevor Tante Frieda Alkoholprobleme bekommt, gebe ich dann doch mal die Lösung bekannt:
Zunächst verlängern wir das Glas virtuell um 10 cm nach unten, sodaß es unten in einer Spitze endet. Dieser Körper hat dann den Vorteil, daß die Form der Flüssigkeit unabhängig von der Füllhöhe ist. Es gilt also V = k h^3 mit V = Füllvolumen, h = Füllhöhe ab Spitze und k = konstanter von Glasform und Größe abhängiger Faktor.
Das Volumen V0 der „virtuellen Spitze“ entspricht 10cm, das volle Glas 20cm Füllhöhe. Die Spitze macht also genau 1/8 des Gesamtvolumens des 20cm hoch gefüllten Glases aus. V0 = k h0^3 = 1/8 k h1^3. Das volle Glas hat dann ein reales Volumen von V1 = 7/8 k h1^3 ( h1 = 20cm )
Das halb gefüllte Glas hat ein reales Volumen von V2 = k h2^3 - 1/8 k h1^3 = 1/2 V1 = 7/16 k h1^3 mit h2 = Füllhöhe des halben Glases
also k h2^3 - 1/8 k h1^3 = 7/16 k h1^3
freundlicherweise kürzt sich k heraus und wir brauchen uns nicht weiter mit der Glasform beschäftigen.
es bleibt h2^3 - 2/16 h1^3 = 7/16 h1^3
h1 zusammenfassen ergibt h2^3 = 9/16 h1^3
Wurzel ziehen h2 = (9/16)^1/3 h1
Das Ganze bezieht sich noch auf die virtuelle Spitze des Glases, also müssen noch 10cm abgezogen werden. Die reale Füllhöhe des halben Glases ist also:
h(1/2) = 20cm (9/16)^1/3 - 10cm
Bei etwa 6,51cm Fülhöhe kann Tante Frieda beruhigt ihr täglich Glas Wein trinken.
