Taylorpolynom mit hyperbolischer Kosinusfunktion

Wissenschaft Mathematik
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Hallo Zusammen!

Ich übe wieder einmal etwas Mathe und dabei ist mir eine Aufgabe aufgefallen bei der ich angefangen hatte, fertig wurde… aber mein Resultat stimmte trotzdem nicht…

Aufgabe:
Gesucht ist das Taylorpolynom vierten Grades, welches die Funktion f(x)=cosh(2x) an der Stelle x0=0 am Besten approximiert. (Die hyperbolische Kosinusfunktion ist wie folgt definiert:
cosh(t)= (e^t+e^-t)/2)

Ich wusste nicht genau was ich mit dem in den Klammern anfangen sollte, darum hab ich mal ohne das gerechnet…

Meine Rechnung:
cosh(2x)= f(0) + f’(0)x + (f’’(0)/2!)x^2 + (f’’’(0)/3!)x^3 + (f’’’’(0)/4!)x^4

Ableitungen:

  1. (cosh(2x))’= sinh(2x) => sinh(0)=1
  2. (sinh(2x))’= cosh(2x) => cosh(0)=0
  3. (cosh(2x))’= sinh(2x) => sinh(0)=1
  4. (sinh(2x))’= cosh(2x) => cosh(0)=0

Dann einsetzten:
cosh(2x)= 1 + 0x + (1/2)x^2 + 0x^3 + (1/4!)x^4
= 1 + 0.5x^2 + 1/24x^4

Aber die Antwort wäre eigentlich:
p4(x)=1 + 2x^2 + 2/3x^4

Kann da jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus,
Lilamango

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moin;

falsche Ableitungen :wink:

f(x)=cosh(2x)

nach Kettenregel:
f’(x)=2sinh(2x)
f’’(x)=4cosh(2x)
f’’’(x)=8sinh(2x)
f’’’’(x)=16cosh(2x)

Wenn du das nun einsetzt, kommst du auf das richtige Ergebnis =)

mfG

3

Hi!
Danke für deine schnelle Antwort!
ich hab das mal eingesetzt und komme dann auf 2x+(4/3)x^3
sieht meiner Meinung nach ganz gut aus, Danke!

der Teil wär dann ja richtig, aber mit dem Endresultat stimmts immer noch nicht… ich denke das in den Klammern muss man leider doch beachten und mit einbeziehen… nur wie?
müsste man das auch ableiten und dann einsetzten?

vielen Dank,
lilamango

4

moin;

nach der Lektüre deines UPs bin ich der Auffassung, dass du schon mit dem Einsetzen Schwierigkeiten hast.

f’(0) ist genausowenig wie f’’’(0)=1!

Sieh dir einfach die Definitionen an:
cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=>cosh(0)=\frac{1+1}{2}=1
sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=>sinh(0)=\frac{1-1}{2}=0

Dies können wir jetzt einsetzen:
cosh(2x)\approx\sum_{i=0}^{4}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}x^i

=f(x_0)+f’(x_0)x+\frac{f’’(x_0)}{2}x^2+\frac{f’’’(x_0)}{6}x^3+\frac{f’’’’(x_0)}{24}x^4
=cosh(0)+2sinh(0)x+\frac{4cosh(0)}{2}x^2+\frac{8sinh(0)}{6}x^3+\frac{16cosh(0)}{24}x^4
=1+0x+\frac{4}{2}x^2+\frac{8*0}{6}x^3+\frac{16}{24}x^4

Das Auszurechnen sollte nicht allzu schwierig werden.
mfG

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Hallo,

ich hab das mal eingesetzt und komme dann auf 2x+(4/3)x^3

f(x) = cosh(2 x)

⇒ f(0) = 1 , f’(0) = 0 , f’’(0) = 4 , f’’’(0) = 0 , f’’’’(0) = 16

\begin{eqnarray}
\Rightarrow\quad
\cosh(2x)
&\approx& 1

  • \frac{0}{1!} x
  • \frac{4}{2!} x^2
  • \frac{0}{3!} x^3
  • \frac{16}{4!} x^4 \nonumber\
    &=& 1 + \frac{4}{2} x^2 + \frac{16}{24} x^4 \nonumber\
    &=& 1 + 2 x^2 + \frac{2}{3} x^4 \nonumber
    \end{eqnarray}

ich denke das in den Klammern muss manleider doch beachten
und mit einbeziehen…

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Ableitungen auszurechnen: (1) Unter Benutzung von cosh’ = sinh und sinh’ = cosh. Damit ist es sehr einfach und billig. (2) Unter Benutzung der cosh-Definition cosh(x) = 1/2 (ex + e–x). Das ist mühevoller, aber dafür kann man darüber die Aufgabe auch lösen, wenn man nur (ex)’ = ex, aber nicht cosh’ = sinh und sinh’ = cosh weiß.

Gruß
Martin

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hi!
ach ja! omg, ich habs eifach übersehen! eigtlich ganz logisch…
vielen Dank Martin und DevilSuichiro!

Mfg, lilamango