Hallo!
Ich versuch noch immer das Taylorpolynom und die Annäherung an diverse Funktionswerte zu durchschauen!aber warum macht man das eigentlich??Das hat doch nicht wirklich einen Sinn oder??Wenn man eine Funktion f(x) gegeben hat, dann kann man doch x einfach in f(x)einsetzen und man hat den Funktionswert an dieser Stelle auch nur mit sehr viel weniger Aufwand. ???
Kann mir das wer erklären?Bitte danke!
-Gregor
Hallo,
für den Fall, daß sich die beliebige Annäherung der Taylorreihe in einer geschlossenen Darstellung möglich ist (ggf. als unendliche Summe) führt man eine wie auch immer geartete Funktion ausschließlich auf Polynome zurück, die math. nette Eigenschaften haben (z.B. integrieren, differenzieren abgeschlossen). Hier sehe ich den Hauptnutzen von solchen „Darstellungstransformationen“.
Gruss
Enno
warum macht man das eigentlich??
Wenn man eine Funktion f(x) gegeben hat, dann kann man
doch x einfach in f(x)einsetzen und man hat den Funktionswert
an dieser Stelle auch nur mit sehr viel weniger Aufwand. ???
Hallo Gregor,
zwischen x einsetzen und Funktionswert erhalten passiert noch so einiges. Eine Möglichkeit für die Zwischenschritte ist, dass der Taschenrechner das x in die Taylorreihe einsetzt und das dann per simpler Multiplikation und Addition ausrechnet.
Noch eine Möglichkeit: Als es noch keine Taschenrechner gab hatte man für alles, was nicht mit den vier Grundrechenarten zu machen war, oft Tabellenwerke. Auch die wurden unter anderem mittels Taylorpolynomen berechnet, was mit der Differenzenmethode äußerst Effektiv ist. Stichwort hierzu ist die Difference-Engine von Babbage.
Viele Grüße
Stefan
Hi Gregor,
Es gibt Funktionen, bei denen f(x)gar nicht in geschlossener Form aufgeschrieben werden kann.
Ich versuch noch immer das Taylorpolynom und die Annäherung an
diverse Funktionswerte zu durchschauen!aber warum macht man
das eigentlich??Das hat doch nicht wirklich einen Sinn
oder??Wenn man eine Funktion f(x) gegeben hat, dann kann man
doch x einfach in f(x)einsetzen und man hat den Funktionswert
an dieser Stelle auch nur mit sehr viel weniger Aufwand. ???
Wie, berechnest Du sin(x), ohne die Sinustaste zu benutzen 
Und wie macht das dann der Taschenrechner, wenn Du die Sinustaste drückst?
Er berechnet die Taylorreihe.
Ciao R.
Funktionensysteme
Hallo,
für den Fall, daß sich die beliebige Annäherung der
Taylorreihe in einer geschlossenen Darstellung möglich ist
(ggf. als unendliche Summe) führt man eine wie auch immer
geartete Funktion ausschließlich auf Polynome zurück, die
math. nette Eigenschaften haben (z.B. integrieren,
differenzieren abgeschlossen). Hier sehe ich den Hauptnutzen
von solchen „Darstellungstransformationen“.
Den Hauptnutzen sehe ich eher in der geschickten Wahl einer für das Problem geeigneten (vollständigen) Basis des Vektorraums.
Ob es nun Taylorpolynome (Taschenrechner), Sini und Cosini (DFT), Kugelflächenfunktionen (Quantenmechanik, Seismik), Besselfunktionen, von Neumeyer-Funktionen (Optik) oder was auch immer sind, ist dabei vom Problem abhängig. Wichtig ist dabei eigentlich nur, das sich das jeweilige Problem mit Wahl der jeweiligen Basis effizient (näherungsweise) lösen lässt.
Für den Taschenrechner sind es oft die Taylorpolynome, mit denen dann die beste Approximierende bestimmt wird.
Ciao R.
Hallo,
durchaus m.M. - deshalb sprach ich auch von „Darstellungstransformationen“ im Plural.
Gruss
Enno
Wenn man eine Funktion f(x) gegeben hat, dann kann man
doch x einfach in f(x)einsetzen und man hat den Funktionswert
an dieser Stelle auch nur mit sehr viel weniger Aufwand.
Richtig interessant wird es doch, wenn man f(x) nicht gegeben hat, sondern nur f’(x). Dann müßte man f’(x) schon integrieren und das ist nicht notwendigerweise einfacher, als die höheren Ableitungen zu bilden und das Ergebnis daraus zusammenzusetzen. Auf diesem Prinzip beruhen eine große Zahl von numerischen Intergrationsverfahren (z.B. der gute alte Runge-Kutta). Ich persönlich finde es faszinierend, daß man eine Funktionion integrieren kann, indem man sie nur oft genug differenziert.
Hallo,
… der noch nie erlebt hat, dass weiter als bis zum
quadratischen Glied entwickelt wurde
Dann wurdest Du noch nicht mit der Störungstheorie konfrontiert . Diese permanente Linearisierung während des Studiums erklärt vielleicht auch die große Zahl der Physiker, die meinen, die Welt sei im wesentlichen linear
Ciao R.
(selbst Physiker)
off topic Re^4: Taylorpolynom Warum???
Hallo
Aber du hast mich neugierig gemacht… für welche Fälle ist
denn die Entwicklung bis zur 3. Ordnung wichtig?
Von Hand macht man das normal nicht . Spontan fällt mir als eines der wichtigsten Gebiete dafür die Quantechemie ein. Hier wird Störungsrechnung bis zu 4. oder 5. Ordnung betrieben (z.B. Hartree Fock) bzw mit der Dichtefunktionaltheorie bis 3. Ordnung.
Bei dynamischen Systemen kann man oft gar keine sinnvolle Störungsrechnung mehr machen. So erlebt die klassische Mechnik mit den Micro- und Nano-Elektromechanischen Systemen (MEMS und NEMS) eine Renaissance.
Ich selbst beschäftige mich (von experimenteller Seite) mit nichtlinearer Mechanik, z.B. n-dimensionale Schwinger in Lennard-Jones Potentialen, Vibro-Impakt-Oszillatoren und Nicht-glatten-Systemen.
Ein schönes Beispiel ist der Duffing-Oszillator:
http://www.mcasco.com/cattr2.html
Oder auch der Stick-slip-Schwinger hier:
http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/flab/coulombSli…
Grüsse
R.