Taylorreihe-Berechnung

Anja_ab2450 · 29. Mai 2005 um 10:43

Hallo liebe Experten,

ich soll als Übung zu einer Klausur 1,05^(1,02) näherungsweise mit einem Fehler

M_L_ · 29. Mai 2005 um 11:29

Hallo.

Hallo liebe Experten,

ich soll als Übung zu einer Klausur 1,05^(1,02) näherungsweise
mit einem Fehler f(x,y) immer partiell nach x,y, xx, yy, xy ableiten und um x0,y0=1 entwickeln

Allg. Formel: f(x,y)=∑(00 / k,l=0) 1/k!l! ϑ^(k+1)/ϑx^kϑy^l f(x₀,y₀)(x-x₀)^k(y-y₀)^l (sieht optisch nicht sehr schön aus )
f(x,y) = x^y f_x(x,y)=y*x^(y-1) f_y(x,y)=
f_xx(x,y)=y*(y-1)*x^(y-2)
f_xy(x,y) =
*Quizfrage: wie leitet man x^y partiell nach y ab ?*

Gleich daran schließt sich auch noch eine ähnliche Aufgabe an:
Berechne die Taylorentwicklung von f(x,y) = exp(x+y²) bis zur
zweiten Ordnung um x0 = (0,0)^t (x0 ist also ein Vektor) auf
die übliche Weise. Leite danach das Ergebnis auf eine zweite
Art her, indem du t:=x+y² setzt und die Taylorentwicklung von
exp(t) bis zur zweiten Ordnung betrachtest.

f(x,y)=exp(x+y²) f_x(x,y) = y²exp(x+y²) f_xx(x,y)=y^4 exp(x+y²) f_y(x,y)=2y exp(x+y²) f_yy(x,y)=4y² exp(x+y²) f_xy(x,y)= 2y exp(x+y²)
…bitte weiterrechnen, da bei mir der Kaffee seinen Tribut fordert :-X

HTH
mfg M.L.

***Skript - Mathe f. Informatiker***
http://www2.am.uni-erlangen.de/~klamroth/ueb/infC3/s…

Moritz_fe1b4f · 29. Mai 2005 um 12:28

Hallo,

Gleich daran schließt sich auch noch eine ähnliche Aufgabe an:
Berechne die Taylorentwicklung von f(x,y) = exp(x+y²) bis zur
zweiten Ordnung um x0 = (0,0)^t (x0 ist also ein Vektor) auf
die übliche Weise.

Ich kapiere den Exponenten nicht ganz. x ist ein Vektor, und y ist ein Skalar. Richtig? Wie kannst du die beiden addieren?

ein möglicher Ausweg: du stellst es als f(x,y) = exp(x)*exp(y^2) dar, und und betrachtest exp(x) als Taylorreihe exp(x) = Summe n (1/n! x^n).

Leite danach das Ergebnis auf eine zweite
Art her, indem du t:=x+y² setzt und die Taylorentwicklung von
exp(t) bis zur zweiten Ordnung betrachtest.

Ja, da stehe ich ganz schön auf dem Schlauch und am Dienstag
ist die Klausur… Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Ich auch. Aber vielleicht kannst du ja für Klarheit sorgen…

Grüße,
Moritz

Anja_ab2450 · 29. Mai 2005 um 13:10

Hallo Markus,

danke für deine Antwort.

-> f(x,y) immer partiell nach x,y, xx, yy, xy ableiten und
um x0,y0=1 entwickeln

also Hesse-Matrix aufstellen, ok

Allg. Formel: f(x,y)=∑(00 / k,l=0) 1/k!l!
ϑ^(k+1)/ϑx^kϑy^l
f(x₀,y₀)(x-x₀)^k(y-y₀)^l
(sieht optisch nicht sehr schön aus )

Ähm, ja, irgendwie kann ich die Formel nicht so ganz entziffern. Ist die partielle Differentiation wirklich ϑ^(k+1) {also k plus Eins) oder war das ein ϑ^(k+l) {k plus L), was mir logischer erscheinen würde? Ansonsten - in diesem Beispiel müsste ich diese Summe nur von 0 bis 2 laufen lassen, oder?

f(x,y) = x^y f_x(x,y)=y*x^(y-1)
f_y(x,y)=
f_xx(x,y)=y*(y-1)*x^(y-2)
f_xy(x,y) =
*Quizfrage: wie leitet man x^y partiell nach y ab ?*

ich tippe auf
f_y(x,y) = lnx * x^y
f_xy(x,y) = y * lnx * x^(y-1)

Gleich daran schließt sich auch noch eine ähnliche Aufgabe an:
Berechne die Taylorentwicklung von f(x,y) = exp(x+y²) bis zur
zweiten Ordnung um x0 = (0,0)^t (x0 ist also ein Vektor) auf
die übliche Weise. Leite danach das Ergebnis auf eine zweite
Art her, indem du t:=x+y² setzt und die Taylorentwicklung von
exp(t) bis zur zweiten Ordnung betrachtest.

f(x,y)=exp(x+y²) f_x(x,y) =
y²exp(x+y²)
f_xx(x,y)=y^4 exp(x+y²)
f_y(x,y)=2y exp(x+y²) f_yy(x,y)=4y²
exp(x+y²) f_xy(x,y)= 2y exp(x+y²)

Ich nehme an, das geht dann ebenso nach der obigen Formel?

…bitte weiterrechnen, da bei mir der Kaffee seinen Tribut
fordert :-X

Jo, hoffe, du hast gerade eine angenehme Kaffeepause.

Sonnige Grüße,
Anja

Anja_ab2450 · 29. Mai 2005 um 13:14

Hallo Moritz,

danke auch für deine Antwort.

Gleich daran schließt sich auch noch eine ähnliche Aufgabe an:
Berechne die Taylorentwicklung von f(x,y) = exp(x+y²) bis zur
zweiten Ordnung um x0 = (0,0)^t (x0 ist also ein Vektor) auf
die übliche Weise.

Ich kapiere den Exponenten nicht ganz. x ist ein Vektor, und y
ist ein Skalar. Richtig? Wie kannst du die beiden addieren?

Nee, x ist ebenso wie y eine Variable, aber x₀ ist ein Vektor.

ein möglicher Ausweg: du stellst es als f(x,y) =
exp(x)*exp(y^2) dar, und und betrachtest exp(x) als
Taylorreihe exp(x) = Summe n (1/n! x^n).

Ja, danke, gute Idee.

Viele Grüße,
Anja

M_L_ · 29. Mai 2005 um 13:35

Hallo nochmal.

-> f(x,y) immer partiell nach x,y, xx, yy, xy ableiten und
um x0,y0=1 entwickeln

also Hesse-Matrix aufstellen, ok

So ähnlich.

Allg. Formel: f(x,y)=∑(00 / k,l=0) 1/k!l!
ϑ^(k+1)/ϑx^kϑy^l
f(x₀,y₀)(x-x₀)^k(y-y₀)^l
(sieht optisch nicht sehr schön aus )

Ähm, ja, irgendwie kann ich die Formel nicht so ganz
entziffern. Ist die partielle Differentiation wirklich
ϑ^(k+1) {also k plus Eins) oder war das ein ϑ^(k+l)
{k plus L), was mir logischer erscheinen würde? Ansonsten - in
diesem Beispiel müsste ich diese Summe nur von 0 bis 2 laufen
lassen, oder?

Sprich Summe von k,l=0 bis unendlich von 1 durch (k Fakultät * klein l Fakultät)
* theta hoch (k+l) durch ((theta x hoch k)*(theta y hoch l)) mal …

f(x,y) = x^y f_x(x,y)=y*x^(y-1)
f_y(x,y)=
f_xx(x,y)=y*(y-1)*x^(y-2)
f_xy(x,y) =
*Quizfrage: wie leitet man x^y partiell nach y ab ?*

ich tippe auf
f_y(x,y) = lnx * x^y
f_xy(x,y) = y * lnx * x^(y-1)

Hm, a^x == e^(x*ln a) -> ableiten = (a^x) * ln a
Scheint also zu stimmen

Gleich daran schließt sich auch noch eine ähnliche Aufgabe an:
Berechne die Taylorentwicklung von f(x,y) = exp(x+y²) bis zur
zweiten Ordnung um x0 = (0,0)^t (x0 ist also ein Vektor) auf
die übliche Weise. Leite danach das Ergebnis auf eine zweite
Art her, indem du t:=x+y² setzt und die Taylorentwicklung von
exp(t) bis zur zweiten Ordnung betrachtest.

f(x,y)=exp(x+y²) f_x(x,y) =
y²exp(x+y²)
f_xx(x,y)=y^4 exp(x+y²)
f_y(x,y)=2y exp(x+y²) f_yy(x,y)=4y²
exp(x+y²) f_xy(x,y)= 2y exp(x+y²)

Ich nehme an, das geht dann ebenso nach der obigen Formel?

Ja, wenn auch schwieriger…

Jo, hoffe, du hast gerade eine angenehme Kaffeepause.

Naja, bei 50% Wasser und 50% Kaffeepulver wird Mann eben leicht ‚high‘

mfg M.L.

Anja_ab2450 · 29. Mai 2005 um 14:04

Hm,

ich hab’s gerade für die erste Aufgabe mit deiner Formel ausprobiert, aber seltsamerweise fallen bei mir fast alle Glieder weg, sodass nur noch (x-1) stehen bleibt. Irgendwas scheine ich da falsch zu machen…

Aaaaalso, jetzt wird’s lustig *gg*

Die Glieder mit k=0 fallen weg, weil zwischendurch ja mit k multipliziert wird.

Das Glied mit k=1 und l=1 ergibt die besagten x-1, weil ja f_x(1,1) 1 ergibt.

Das Glied mit k=2 und l=0 fällt weg, weil f_xx(1,1) 0 ergibt (wegen y²-y = 1-1 = 0).

Wegen ln1 = 0 passiert dies auch mit dem Glied für k=2, l=1 sowie für k=2, l=2.

Mache ich da irgendwas falsch oder stimmt das so??? Das kann ich mir nämlich nicht vorstellen…

* theta hoch (k+l) durch ((theta x hoch k)*(theta y hoch l))
mal …

uuups, ich dachte immer, das hieße Delta und nicht Theta.

Grüße,
Anja, die jetzt auch einen Kaffee gebrauchen könnte

Martin · 29. Mai 2005 um 14:24

Hallo Anja,

wie Du schon rausgekriegt hast, benötigst Du für die Taylorentwicklung einer Funktion von zwei Variablen die Formel für die Taylorentwicklung einer Funktion von zwei Variablen. Die findest Du z. B. auf S. 48 von http://michael-scholze.de/mathe_formelsammlung.pdf.

Für die Entwicklung von f(x, y) = x^y bis zur Ordnung n = 2 mußt Du fünf Ableitungen ausrechnen, nämlich d/dx, d/dy, d^2/dx^2, d^2/dy^2 und d^2/(dx dy). Wertest Du alle Ableitungsfunktionen für die Stelle (1, 1) aus, wirst Du feststellen, daß sich drei davon zu 0 ergeben, und zwei davon zu 1. Dadurch wird alles sehr schnell sehr einfach, und nur zwei Zeilen später hast Du als Ergebnis dastehen:

x^y ≈ x + (x-1)(y-1) = 1.051 (exakter Wert: 1,0510250935…)

Mach Dir auch klar, warum die Entwicklung bis n = 1 hier nicht ausgereicht hätte: das Ergebnis wäre „x^y ≈ x“ gewesen, also ein Ausdruck, der unabhängig von y ist. Erst in der zweiten Ableitung kommt hier die Variable y zum Tragen.

f_y(x,y) = lnx * x^y

Ja.

f_xy(x,y) = y * lnx * x^(y-1)

Da hast Du noch was vergessen.

Gruß
Martin

Gurke_f36f63 · 29. Mai 2005 um 14:14

Hallo!

ich tippe auf
f_y(x,y) = lnx * x^y
f_xy(x,y) = y * lnx * x^(y-1)

Die erste ist richtig, aber die f_xy(x,y) ist falsch… probiers nochmal.

Anja_ab2450 · 29. Mai 2005 um 15:40

Es hat geklappt !!!
Hallo Martin,

es hat geklappt! *jubel*

Die findest Du z. B. auf S. 48 von
http://michael-scholze.de/mathe_formelsammlung.pdf.

Danke, der Link ist super.

Für die Entwicklung von f(x, y) = x^y bis zur Ordnung n = 2
mußt Du fünf Ableitungen ausrechnen, nämlich d/dx, d/dy,
d^2/dx^2, d^2/dy^2 und d^2/(dx dy). Wertest Du alle
Ableitungsfunktionen für die Stelle (1, 1) aus, wirst Du
feststellen, daß sich drei davon zu 0 ergeben, und zwei davon
zu 1. Dadurch wird alles sehr schnell sehr einfach, und nur
zwei Zeilen später hast Du als Ergebnis dastehen:

x^y ≈ x + (x-1)(y-1) = 1.051 (exakter Wert:
1,0510250935…)

Ja, vielen, vielen Dank für die ausführliche Erklärung, das ist tatsächlich rausgekommen.

Mach Dir auch klar, warum die Entwicklung bis n = 1 hier nicht
ausgereicht hätte: das Ergebnis wäre „x^y ≈ x“ gewesen,
also ein Ausdruck, der unabhängig von y ist. Erst in der
zweiten Ableitung kommt hier die Variable y zum Tragen.

Ja, stimmt…

f_y(x,y) = lnx * x^y

Ja.

f_xy(x,y) = y * lnx * x^(y-1)

Da hast Du noch was vergessen.

Ach ja, ich hätte lnx auch noch ableiten müssen nach der Produktregel… hatte ich übersehen.

Schöne Grüße,
Anja

Moritz_fe1b4f · 29. Mai 2005 um 16:34

Hallo,

Nee, x ist ebenso wie y eine Variable, aber x₀ ist
ein Vektor.

Hm, komische Notation…

Den Rest dieses Aufgabenteils solltest du mit der Formel für zwei Variablen (s. unterer Teilthread) hinkriegen, oder?

Grüße,
Moritz