Hi!
Ich bräuchte wieder mal eure Hilfe:
Und zwar suche ich eine unendlich oft differenzierbare Funktion, die sich trotz dieser Eigenschaft nicht als Taylorreihe darstellen lässt!
Ich weiß dass es sie gibt, aber wie schaut sie aus??
Viele Grüße
Gregor
Auch hallo.
Und zwar suche ich eine unendlich oft differenzierbare
Funktion, die sich trotz dieser Eigenschaft nicht als
Taylorreihe darstellen lässt!
Ich weiß dass es sie gibt, aber wie schaut sie aus??
Dazu müsste das x im Nenner stehen. Und da gibt es einige Kandidaten: ln(x) inkl. Ableitungen, e^(1/x): http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Reihe
HTH
mfg M.L.
Hallo Gregor.
Und zwar suche ich eine unendlich oft differenzierbare
Funktion, die sich trotz dieser Eigenschaft nicht als
Taylorreihe darstellen lässt!
Versuche e (-1/x^2) fuer x=0. Die Funktion sollte dort beliebig oft differenzierbar sein und alle Ableitungen sind mE Null. Das bedeutet, dass die Taylorreihe existiert, aber nicht gegen die zugehoerige Funktion konvergiert.
Gruss,
Klaus
Hallo, lieber Gregor!
Zum Verständnis deiner Frage ist die Herleitung der Taylorreihe sehr nützlich, was über die wiederholte Anwendung der partellen Integration sehr schön geht: (Hier erstmal „nur“ die Entwicklung um 0 herum)
f[x] - f[0] = Int{(df[x-t]/dt)*dt};x,t,0 = Int{f´[x-t]*dt};0,t,x
= Int{1*f´[x-t]*dt};0,t,x partiell aufgeleitet:
= {t*f´[x-t]};0,t,x + Int{t*f´´[x-t]*dt};0,t,x
= x*f´[x-x] - 0*f´[x-0] + Int{t*f´´[x-t]*dt};0,t,x
= x*f´[0]} + Int{t*f´´[x-t]*dt};0,t,x partiell weiter aufgeleitet:
= x*f´[0]} + {(t^2/2!)*f´´[x-t]*dt};0,t,x + Int{(t^2/2!)*f´´´[x-t]*dt};0,t,x
= x*f´[0]} + (x^2/2!)*f´´[x-x] - (0^2/2!)*f´´[x-0] + Int{(t^2/2!)*f´´´[x-t]*dt};0,t,x
= x*f´[0]} + (x^2/2!)*f´´[0] + Int{(t^2/2!)*f´´´[x-t]*dt};x,t,0 iteriert weiter also:
f[x] - f[0] = x*f´[0]} + (x^2/2!)*f´´[0] + (x^3/3!)*f3´[0] ++++ (k^k/k!)*fk´[0], also:
f[x] = f[0] + x*f´[0]} + (x^2/2!)*f´´[0] + (x^3/3!)*f3´[0] ++++ (k^k/k!)*fk´[0] ++++
Natürlich bleibt „immer“ (weil man ja nicht wirklich unendlich oft auf/ableiten kann, immer noch ein „Restintegral“ der Form Int{(t^k/k!)*fk+1´[x-t]*dt};0,t,x. Und nur falls dieses Restintegral verschwindet kann die Taylorreihe auch gegen die Funktion konvergieren!
Für f(x) = ln(x) ist die n-te Ableitung: (-1)^(n+1)*n!/x^n
Eingesetzt:
Int{(t^k/k!)*fk+1´[x-t]*dt};0,t,x
= Int{(t^k/k!)*[(-1)^(k+2)*(k+1)!/(x-t)^(k+1)]*dt};0,t,x
= Int{t^k*[((-1)^k)*(k+1)/(x-t)^(k+1)]*dt};0,t,x
Das divergiert für sehr große k tatsächlich, wenn |x|>1, also stimmts, dass der ln sich für den Bereich, der weiter als 1 vom Entwicklungspunkt 0 entfernt ist, nicht mit Taylor annähern lässt.
Durch weiterspielen mit diesem Restintegral könnte man wohl noch viel mehr solcher Funktionen finden.
Ich täte mich über Korrektur freuen, falls ich mich irgendwo verdacht haben sollte.
Liebe Krüße, moin, Giogio
Taylorreihe
Herzlichen Dank für eure Bemühungen!
Habt mir sehr weiter geholfen!
lg Gregor