Hallo habe hier eine aufgabe mit lösungsweg, verstehe aber bahnhof.
Kann mir jemand erklären, wie man das machen kann?
y(x)e^(-x)*cos(x)
x_0=0
Hallo Mahta!
Habe hier eine aufgabe mit lösungsweg
Schön, dass Du beides hast, wir im Forum haben keins von beiden. Der Lösungsweg interessiert uns vielleicht nicht so sehr, den kriegen wir noch selbst hin.
Auf jedenfall ist das Folgende keine Aufgabe:
y(x)e^(-x)*cos(x)
x_0=0
Selbst, wenn da stünde (was vielleicht beabsichtigt ist):
y(x) = e^(-x)*cos(x)
x_0=0,
wäre das noch keine Aufgabe, weil Du nicht schreibst, was Du mit diesen Informationen machen sollst. Das erste ist eine Funktionsgleichung, das zweite definiert einen Parameter, der in der Gleichung nicht einmal vorkommt!
Anhand Deiner Überschrift kann ich nur mutmaßen, dass vielleicht die Aufgabe lautet: „Bestimmen Sie die Taylorreihenentwicklung von y(x) um x_0.“
Kann mir jemand erklären, wie man das machen kann?
Wenn Du bestätigst, dass meine Vermutungen bezüglich Deiner Aufgabenstellung beide richtig sind, macht das bestimmt jemand, eventuell sogar ich selbst. Vorher mach ich mir nicht die Mühe.
Liebe Grüße
Immo
P.S. Das ist alles gar nicht böse gemeint. Es ist nur so, dass Du als Mathe-Studentin zuerst einmal lernen musst, Deine Probleme so zu formulieren, dass andere sie auch verstehen. Dieses logische Formulieren wird primär in den ersten zwei Semestern eingeübt, und deshalb kann ich Dir nicht verübeln, dass es Dir noch nicht perfekt gelingt.
Sollte die Aufgabe jene sein, die ich mutmaße, hättest Du zum Beispiel kurz und prägnant etwas schreiben können wie:
Gesucht ist die Taylorreihenentwicklung der Funktion y(x)=e^(-x)*cos(x) um x_0=0. Ich habe den Lösungsweg hier, verstehe aber nur Bahnhof. Kann mir das bitte jemand erklären, so dass ich es verstehe?
Noch mal liebe Grüße
Danke für deine hilfe und leider finde ich es trotzdem böse.
Wenn ich im Forum bin und als überschrift steht, z.B Kurvendis…
und im text eine funktion, dann weiss ich was gemeint ist. aber egal.
also, ja deine vermütung ist richtig.
Falls mir jemand helfen kann, wäre ich sehr dankbar.
Danke für deine hilfe und leider finde ich es trotzdem böse.
Hi Mahta !
Ich muss Immo Recht geben.
Wenn ich im Forum bin und als überschrift steht, z.B
Kurvendis…
und im text eine funktion, dann weiss ich was gemeint ist.
Das mag sein, aber du musst bedenken, je genauer eine Frage formuliert ist, desto einfacher ist es eine genaue Antwort zu geben. Und da du ja sicher eine ausführliche und gut erklärte Antwort haben möchtest, ist es doch nicht zu viel verlangt auch eine hinreichend ausführliche Frage zu stellen.
Nun zur Aufgabe.
Wenn du ein paar mal ableitest, wirst du feststellen, dass
f’’’(x)=-2f(x).
Das bedeutet
f(0)=ausrechnen
f’(0)=ausrechnen
f’’(0)=ausrechnen
f’’’(0)=-2f(0)
f(4)(0)=-2f’(0)
f(5)(0)=-2f’’(0)
f(6)(0)=-2f’’’(0)
…
f(n)(0)=-2f(n-3)(0)
Das sollte genügen um die Taylorentwicklung hinzuschreiben.
Viel Erfolg !
hendrik
Danke für deine Hilfe!
Leider habe ich gar keine Ahnung davon und deswegen reicht es für eine Taylorreihe gar nicht.
Wäre nett, wenn du es etwas ausführlich schreiben könntest.
Moin,
Leider habe ich gar keine Ahnung davon und deswegen reicht es
für eine Taylorreihe gar nicht.
Das ist ungünstig bei einem technischen Studiengang…in deiner Frage schreibst du, du hast eine Lösung, verstehst sie aber nicht. Dann sag uns doch mal, welche Lösung du hast und was du daran nicht verstehst, insbesondere nach Hendriks Antwort.
Gruß
Kubi
die Prüfungen damals habe ich bestanden 
die lösung ist y(x)=1-x+2x^3
Leider habe ich gar keine Ahnung davon und deswegen reicht es
für eine Taylorreihe gar nicht.
Wäre nett, wenn du es etwas ausführlich schreiben könntest.
Die Taylorreihe von f sieht folgendermaßen aus.
f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
Da bei dir x0=0 ist, vereinfacht sich das zu
f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k
Für die Taylorreihe von f musst du also die unendlich vielen f(k)(0) kennen. Glücklicherweise steckt ein Muster in ihnen, denn f(4)(x)=-2f(x), und daraus folgt
f(0)(0)=f(0)
f(1)(0)=f’(0)
f(2)(0)=f’’(0)
f(3)(0)=f’’’(0)
f(4)(0)=-2f(0)
f(5)(0)=-2f’(0)
f(6)(0)=-2f’’(0)
f(7)(0)=-2f’’’(0)
f(8)(0)=4f(0)
f(9)(0)=4f’(0)
usw.
Es reicht also f(0), f’(0), f’’(0) und f’’’(0) zu kennen. Denn dann gilt
f^{(4k)}(0)=(-2)^k f(0)
f^{(4k+1)}(0)=(-2)^k f’(0)
f^{(4k+2)}(0)=(-2)^k f’’(0)
f^{(4k+3)}(0)=(-2)^k f’’’(0)
Damit wird die Taylorreihe von f zu
f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty (-2)^k\frac{f(0)}{(4k)!}x^{4k}
+\sum\limits_{k=0}^\infty (-2)^k\frac{f’(0)}{(4k+1)!}x^{4k+1}
+\sum\limits_{k=0}^\infty (-2)^k\frac{f’’(0)}{(4k+2)!}x^{4k+2}
+\sum\limits_{k=0}^\infty (-2)^k\frac{f(0)}{(4k+3)!}x^{4k+3}
oder schöner geschrieben
f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty (-2)^k\left( f(0)\frac{x^{4k}}{(4k)!}+f’(0)\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}+f’’(0)\frac{x^{4k+2}}{(4k+2)!}+f’’’(0)\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}\right)
Jetzt hab ich praktisch die Aufgabe für dich gelöst, ich weiß, aber du hattest die Lösung ja eh schon. Es fehlen natürlich noch die Werte für f(0), f’(0), f’’(0) und f’’’(0).
Gruß
hendrik
danke!
Diese aufgabe ist ohne taschenrechner zu lösen.
und die lösung ist:
y(x)=1-x+2x^3
das ist was ganz anderes, als das was du geschrieben hast.
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Hi, ich bin’s noch mal.
Di bisherigen Antworten waren ja wohl nicht zufriedenstellend, obwohl Du die Taylorreihe von Hendrik genau angegeben bekommen hast (obwohl ich glaube, dass f⁽⁴⁾(x)=4*f(x), aber das sei dahingestellt).
Das Problem ist, dass Du uns Deine Aufgabe immer noch nicht (nicht böse werden, ich erklär’s Dir gleich ausführlich) so mitgeteilt hast, wie sie auf Deinem Aufgabenblatt steht - denn die Taylorreihenentwicklung der Funktion
y(x)=e^(-x)*cos(x)
kann gar nicht 1 - irgendwas*x + irgendwas*x³ sein, denn dann wären diese beiden Funktionen gleich, und das sind sie nicht.
Die Taylorreihenentwicklung einer Funktion hat (fast) immer unendlich viele Glieder.
Vielleicht lautet Deine Aufgabe ja, nur die Glieder bis zur dritten Potenz zu bestimmen - dann kucken wir mal, was herauskommt.
Das erste Glied der Taylorentwicklung (um 0) ist einfach der Funktionswert an der Stelle 0, also
y(0)=e^(-0)*cos(0)=1.
Für das zweite (lineare) Glied brauchst Du die erste Ableitung der Funktion. Die bekommst Du mit der Produktregel:
y’(x)=\big(e^{-x}\big)’\cdot\cos(x) + e^{-x}\cdot\big(\cos(x)\big)’
=-e^{-x}\cdot\cos(x)+e^{-x}\cdot(-\sin(x))=-e^{-x}\cdot(\cos(x)+\sin(x)).
Das wertest Du jetzt an der Stelle x0=0 aus und multiplizierst mit x:
y’(0)*x=-e⁰*(cos(0)+sin(0))*x=-1*x=-x.
So. lineares Glied gefunden.
Für das quadratische Glied brauchst Du die zweite Ableitung:
y’’(x)=\big(-e^{-x}\cdot(\cos(x)+\sin(x))\big)’
=-\big(e^{-x}\big)’\cdot(\cos(x)+\sin(x)) - e^{-x}\cdot\big(\cos(x)+\sin(x)\big)’
=e^{-x}\cdot(\cos(x)+\sin(x))-e^{-x}\cdot(-\sin(x)+\cos(x))
=2\cdot e^{-x}\cdot\sin(x).
Wenn Du das jetzt an der Stelle 0 auswertest, wirst Du erkennen, dass y’’(0)=0 gilt. Dein quadratisches Glied fällt also weg.
Nun noch die dritte Ableitung für das kubische Glied:
y’’’(x)=2\big(e^{-x}\cdot\sin(x)\big)’
=2\cdot\big(-e^{-x}\sin(x)+e^{-x}\cos(x)\big)
=2e^{-x}(\cos(x)-\sin(x)).
Das wertest Du jetzt bei x=0 aus und multiplizierst es mit x³/6. (Keine Bange, ich erklär Dir auch gleich, warum Sechstel. Erst rechnen wir’s aus.)
y’’’(0)*x³/6 = 2*e⁰*(cos(0)-sin(0))*x³/6 = 2*x³/6 = x³/3.
„Lösung“ also: y(x) = 1 - x + x³/3 + o(x⁴).
Dieses o(x⁴) bedeutet, dass nun nur noch Terme mindestens vierter Ordnung (also x⁴, x⁵, x⁶ …) kommen, die man nahe 0 gern vernachlässigen kann. Aber y(x) = 1-x+x³/3 zu schreiben (ohne o(x⁴)) wäre sicherlich falsch (musst ja nur mal z.B. y(π/2) ausrechnen, da stimmt’s offensichtlich nicht).
So, und nun zu dem Sechstel.
Die Summanden in der Taylorentwicklung haben die Form
f(n)(x0)*(x-x0)n/n!,
wobei n von 0 bis unendlich läuft. x0 ist bei Dir 0, das kannst Du ja erst mal einsetzen, dann steht da
f(n)(0)*xn/n!.
f(n) heißt n-te Ableitung von f. Wenn Du also den x³-Term berechnest, brauchst Du dafür die dritte Ableitung (das hatten wir ja gerade), musst aber durch 3! (3 Fakultät = 6) teilen.
Dass uns das erst bei diesem Term aufgefallen ist, liegt daran, dass 0!=1!=1 ist (bei den ersten beiden Termen mussten wir also durch 1 teilen), während der quadratische Term bei uns wegfiel (wir hätten 0*x²/2 gehabt, aber das störte uns nicht weiter).
Nun musst Du erst einmal sehen, ob Du andere Aufgaben allein rechnen kannst, bevor Du die nächste Taylorentwicklungsaufgabe ins Forum stellst. Es hilft Dir ja nichts, wenn Dir perfekte Taylorreihenentwicklungen vorgerechnet werden, Deine Aufgabe dies aber (wie Du uns erst durch die Musterlösung verrietst) gar nicht wissen möchte.
Hoffe, geholfen zu haben.
Liebe Grüße
Immo
danke!
Diese aufgabe ist ohne taschenrechner zu lösen.
Alles was ich geschrieben habe, hab ich ohne Taschenrechner rausgefunden.
und die lösung ist:
y(x)=1-x+2x^3
Das ist nicht die Taylorreihe, sondern das Taylorpolynom dritten Grades.
das ist was ganz anderes, als das was du geschrieben hast.
Mach dir doch mal die Mühe die Ableitungen auszurechnen bevor du so etwas schreibst.
hendrik
ja, danke dir!!!
danke, habe es soweit verstanden.
also verstehe ich es richtig, immer y(x)+y’(x)*x+y’’(x)*x^2 und so weiter?
moin;
fast, deine Formel ist nur an der Stelle x0=0 richtig, sofern du die i! nur verschlampt hast und mit y(x)… immer y( x0 ) meintest. Die allgemeine Formel einer Taylorreihe an der Stelle x0 lautet:
f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i
Das heißt du brauchst tatsächlich alle Ableitungen, aber
-erstens haben deine Potenzen nichts mehr mit x0 zu tun,
-zweitens hast du die i! vergessen (weil diese beim Ableiten der Potenzreihe als Faktor hinzukommen, musst du sie wieder „ausgleichen“), und
-drittens hast du als Koeffizienten, wenn man es genau nimmt, Funktionen, du benötigt allerdings reelle Werte, nämlich gerade die Funktionswerte der i-ten Ableitung an der jeweiligen Stelle.
mfG
ok, vielleicht war es wieder nicht verständlich.
aber erstmal danke für deine hilfe
hier mal ein anderes beispiel, damit ich mich vielleicht besser ausdrücken kann.
f(x)=x*e^(-2x)
f’(x)=1*e^(-2x)-2x*e^(-2x)
f’(x)=e^(-2x)(1-2x)
f’’(x)=-2e^(-2x)(1-1x)-2e^(-2x)
f’’(x)=2xe^(-2x)
f’’’(x)=-4xe^(-2x)+2e^(-2x)
f’’’(x)=2e^(-2x)(1-2x)
jetzt habe ich die ersten drei ableitungen, weil ich nur bis dahin es brauche. und nun? was mache ich jetzt?
hiho;
wie gesagt, dafür brauchst du die Stelle x0, um die die Entwicklung stattfinden soll. Wenn wieder 0 gemeint ist und nur die ersten 4 Summanden gesucht sind, haben wir als Formel:
f(x)=\sum_{i=0}^3\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i
Brauchen wir also nur die Funktionswerte an der Stelle x0:
f(0)=0
f’(0)=1
f’’(0)=0
f’’’(0)=1
eingesetzt in die obige Formel kommen wir auf:
f(x)=\frac{0}{0!}+\frac{1}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3
f(x)=x+\frac{x^3}{6}
Wie gesagt unter der Voraussetzung, dass nur die ersten 4 Summanden gesucht sind und x0=0 ist 
mfG
P.S.: Dies ist natürlich nur eine Näherung der Funktion, da die eigentliche Taylorreihe unendlich viele Glieder umfassen würde, ich habe dennoch ein Gleichheitszeichen verwendet.
danke dir.
Diese aufgabe habe ich schenll aus dem netz geholt um es mir deutlich zumachen.
die aufgabe lautet:
Gib für die folgenden Funktionen die ersten vier nichtverschwindenden Glieder der Taylorreihen an.
sonst steht da nix. also auch kein x0
aber die lösung
x-2x^2+2x^3-4/3x^4
verstehe es jetzt nicht mehr
moin;
hihihi, wer ist das Rechengenie?
Nach der von dir gegebenen Ableitung (ich habe sie jetzt nicht nachgerechnet) ist f’’’(0)=2, womit der zweite Summand der Taylor-Approximation x³/3 ist.
mfG
moin;
da die x-Potenzen benutzt wurden, (also kein z.B. (x-2)) ist x0=0.
Wenn das nicht passt, liegt das möglicherweise daran, dass die Ableitungen falsch waren.
f(x)=xe^(-2x)
f’(x)=e^(-2x)-2xe^(-2x)
f’’(x)=-4e^(-2x)+4xe^(-2x)
f’’’(x)=12e^(-2x)-8xe^(-2x)
Hoffe ich habe mich da nicht verrechnet, aber das würde die abweichenden Koeffizienten erklären.
mfG
aber du hast ja schon für
f(x)=0 raus
wobei es ja 1 sein muss.
DIe ableitung überprüf ich mal. aber was ist mit der stammfunktion.
wenn ich diese funktion habe, f(x)=xe^(-2x) und es sollen die ersten drei terme gerechnet werden, wie geh ich ambesten vor?