Ich besitze die Fritzbox Fon Wlan 7320, 1&1 Homeserver. Die
hat einen USB Anschluss für externen Speicher.
Wäre es damit möglich einen Server zu betreiben ohne das der
Rechner ständig im Betrieb sein muss?
Auf der Fritzbox läuft im Grunde genommen ein kleines Linux. Es gibt auch die Möglichkeit andere Firmware (=Betriebssystem) auf die FritzBox zu ziehen und ihr so mehr Funktionen zu geben.
In der Standart-Ausführung bezieht sich das „Homeserver“ eher auf Datei und Medienfreigaben im Netzwerk (Dateien auf eine USB-Festplatte legen und von jedem Rechner zugreifen).
Ich habe mal fix gegooglet: bei TS scheint das Problem zu sein das dir Box 1. zu wenig Rechenleistung und RAM hat und 2. der TS Server erst selber an die Hardware der Fritzbox angepasst werden müsste.
Wie gesagt nur schnelle Recherche. Kann sein das man da noch was findet.
Sorry wegen der Fragen. Bin mit der Materie leider nicht so
sehr bewandert.
Kein Problem, dafür ist dieses Portal da 
Aber ich denke nicht, dass du erfolg haben wirst. Nicht persönlich nehmen aber dafür ist einiges an tiefergehenden Wissen notwenig, wenn es überhaupt geht.
Tipp: Setz dir zu hause einen alten Rechner oder eine VM auf und teste und übe einfach ein bisschen. Such im Netz das ein oder andere Tutorial und die zugehörigen Erklärungen, so kannst du das mit den Server nach und nach lernen.
PS: Es gibt im Netz auch nen haufen TS-Server die man vor Free nutzen kann
Klar ein eigener ist immer cooler aber auch sehr aufwändig.
Schönes we