Wenn der Anfangstemperaturunterschied der Tasse zu ihrer Umgebung ΔT0 und τ ihre Zeitkonstantante ist, dann beträgt die Temperaturdifferenz nach der Zeit t
(1) ΔT(t) = ΔT0·exp(-t/τ)
Wenn wir in eine Tasse der Masse m und der Temperatur ΔT Sahne der Temperatur ΔTS und der Masse mS schütten, dann beträgt die Mischungstemperatur bei gleichen Wärmekapazitäten
(2) ΔTm = (m·ΔT + mS·ΔTS)/(m + mS)
Schütten wir jetzt im Fall a zuerst die Sahne in die Tasse und Lassen sie dann abkühlen, dann müssen wir anstelle der Anfangstemperaturdifferenz ΔT0 in Gleichung (1) das Ergebnis von Gleichung (2) einsetzen:
(a) ΔTa = (m·ΔT0 + mS·ΔTS)/(m + mS)·exp(-t/τ)
Schütten wir dagegen im Fall b die Sahne erst in die Tasse, nachdem diese sich abgekühlt hat, dann müssen wir anstelle der Temperatur T in Gleichung (2) das Ergebnis aus Gleichung (1) einsetzen, wobei wir allerdings beachten müssen, daß auch die Sahne sich der Temperatur ihrer Umgebung anpaßt. Unter der Annahme, daß alle Zeitkonstanten gleich sind (sonst wird mir das zu kompliziert) ergibt sich dabei:
(b) ΔTb = [m·ΔT0·exp(-t/τ) + mS·ΔTS·exp(-t/τ)]/(m + mS)
Nach dem Ausmultiplizieren stellt man überrascht fest, daß ΔTa und ΔTb identisch sind.
Nimmt man die Sahne dagegen direkt vor dem Eingießen in die Tasse aus dem Kühlschrank, dann ist
ΔTb = [m·ΔT0·exp(-t/τ) + mS·ΔTS]/(m + mS)
und die Differenz von ΔTa und ΔTb beträgt
ΔTab = ΔTa - ΔTb = ΔTS·[exp(-t/τ)-1]/(m + mS)
ΔTb ist also kleiner als ΔTa, wenn ΔTS kleiner als Null ist (wenn die Sahne also kälter als die Umgebung ist).
