Teilbarkeit

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,

ich habe ein Problem, ich hoffe dass du mir helfen kannst.
Ich besuche eine Fachoberschule (11.Klasse), wir haben letztens eine Lk in Mathe geschrieben.
Wir behandeln gerade das Thema „Termumformungen“
Da war eine Aufgabenstellung: „Faktorisieren Sie !“
Die eine Aufgabe lautete: 25+30t+9t^2
Meine Lösung war: 3*(8 1/3+10t+3t^2)
ist ja nicht falsch, ich weiß, dass da auch eine binomische Formel anwendbar ist, aber die Aufgabenstellung verlangt das meiner Meinung nach nicht.
Deshalb habe ich mich bei meiner Lehrerin beschwert und die meinte, dass man „beim Ausklammern gemeinsame Faktoren verwenden muss“, also dass das was ich ausklammere ein Teiler aller Glieder sein muss.

Meine Frage ist deshalb: Versteht man unter „Teilbarkeit“ nur, dass etwas teilbar ist, wenn man eine Zahl durch eine andere Teilt, eine ganze Zahl rauskommen muss ?

lg Diana Friederike

#2

Liebe/-r Experte/-in,

ich habe ein Problem, ich hoffe dass du mir helfen kannst.

Da war eine Aufgabenstellung: „Faktorisieren Sie !“
Die eine Aufgabe lautete: 25+30t+9t^2
Meine Lösung war: 3*(8 1/3+10t+3t^2)
Meine Frage ist deshalb: Versteht man unter „Teilbarkeit“ nur,
dass etwas teilbar ist, wenn man eine Zahl durch eine andere
Teilt, eine ganze Zahl rauskommen muss ?

lg Diana Friederike

Erstmal: Besonders sinnvoll finde ich die Aufgabenstellung nicht :wink: Wenn Du aber einfach irgendwelche natürlichen Zahlen ausklammern könntest, gäbe es unendlich viele Lösungen und die Aufgabe wäre komplett sinnfrei. Die gewünschte (und eindeutige) Lösung muss daher (3t+5)^2 sein.

Einen schönen Abend

Gruß Martin

#3

Hallo Diana Friederike,

Ihre Lehrerin hat recht. Beim Faktorisieren muss soweit wie möglich in Linearfaktoren zerlegt werden. Das wäre hier (3t+5)^2, da das vorgegebene Polynom eine doppelte Nullstelle bei t=-5/3 hat. Sie klammern lediglich eine beliebige Zahl aus (warum eigentlich gerade 3?), aber keinen Linearfaktor.

"Faktorisieren Sie ! 25+30t+9t^2
Meine Lösung war: 3*(8 1/3+10t+3t^2)
ist ja nicht falsch, ich weiß, dass da auch eine binomische
Formel anwendbar ist, aber die Aufgabenstellung verlangt das
meiner Meinung nach nicht.

Doch!

Meine Frage ist deshalb: Versteht man unter „Teilbarkeit“ nur,
dass etwas teilbar ist, wenn man eine Zahl durch eine andere
Teilt, eine ganze Zahl rauskommen muss ?

Bei der Teilbarkeit von Zahlen betrachtet man nur ganze Zahlen: Sei x eine ganze Zahl und y eine natürliche Zahl. Dann ist x teilbar durch y, wenn es eine ganze Zahl z gibt mit z*y=x. y ist ein Teiler von x.

Bei reellen Zahlen x und y spricht man nicht von Teilbarkeit, da der Quotient x/y immer definiert ist, wenn y von Null verschieden ist.

Viele Grüße,
Martin Hulin

#4

danke für deine Atnwort !
3 weil alle drei Zahlen total leicht durch 3 teilbar sind, dewegen erschien es mir auch total logisch einfach die 3 auszuklammern, ich hab am Ende ein Produkt und ich kann 100%ig sicher sein, das ich mich nicht verrechnet habe, weil so einfach ist.

Ich hätte da noch ne Frage:

Ist es richtig, dass nur alles was unter oder über dem Bruchstrich steht zu Bruch gezählt wird und dann auch genauestens einzuhalten ist ?

#5

Ich hätte da noch ne Frage:

Ist es richtig, dass nur alles was unter oder über dem
Bruchstrich steht zu Bruch gezählt wird und dann auch
genauestens einzuhalten ist ?

Die Frage verstehe ich leider nicht. Haben Sie ein Beispiel?

#6

1/2 a
Wenn man ein karriertes blatt papier hat, schreibe ich in die obere zeile die 1, dann mach ich einen waagerechtem strich drunter und unter den strich schreibe ich die 2
auf der gleichen ebene wie die 2 schreib ich das a, aber ich schreib das a nicht mit unter den bruchstrich
form richtig oder flsch ?

#7

1/2 a
Wenn man ein karriertes blatt papier hat, schreibe ich in die
obere zeile die 1, dann mach ich einen waagerechtem strich
drunter und unter den strich schreibe ich die 2
auf der gleichen ebene wie die 2 schreib ich das a, aber ich
schreib das a nicht mit unter den bruchstrich
form richtig oder falsch ?

Die Form ist falsch, weil man nicht weiß, ob Sie 1/(2a) meinen oder (1/2)a. Es kann ja sein, dass das a nur aus Versehen etwas zu tief gerutscht ist oder der Bruchstrich etwas zu kurz geraten ist.

#8

Der Begriff „Teilbarkeit“ macht nur in der Menge der natürlichen Zahlen (N) oder der ganzen Zahlen (Z) Sinn, da in Q oder R jede Zahl durch jede andere (verschieden von 0) „teilbar“ ist.
Denken Sie z. B. an den Begriff „Primzahl“: in Q ist 3 durch 2 ja „teilbar“: 3/2 = 1,5, in Z aber nicht!

#9

Hallo Diana,

in der Mathematik gibt es eine algebraische Struktur, die Ring genannt wird (einfach mal googlen). Was ein Ring genau ist, spielt jetzt erstmal hier gar keine Rolle.

Definition der Teilbarkeit:
In einem kommutativen Ring R nennt man ein Element a aus dem Ring einen Teiler eines Elements b aus dem Ring, wenn es ein Element x in dem Ring gibt, sodass gilt a * x = b.
Dabei darf a nicht das Nullelement in dem Ring sein.

Du siehst, bei der Teilbarkeit muss man sich (streng mathematisch betrachtet) zuvor darüber im Klaren sein, in welchem Ring man die Teilbarkeit untersuchen will.
In deinem Fall spielen zwei kommutative Ringe eine Rolle:

  1. Der Ring der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.
  2. Der Ring der Polynome mit rationalen Koeffizienten.

In jedem Ring ergeben sich andere Möglichkeiten das Polynom 25 + 30t + 9t^2 in Faktoren zu zerlegen. Die Zerlegung 25 + 30t + 9t^2 = (3t + 5)*(3t + 5) ist eine Zerlegung, die in beiden Ringen möglich ist.
Die von dir angegeben Zerlegung 25 + 30t + 9t^2 = 3*(8 1/3 + 10t + 3t^2) ist eine Zerlegung, die nur im zweiten Ring gültig ist, da 8 1/3 + 10t + 3t^2 ein Polynom mit rationalen Koeffizienten ist.

Das Problem ist nun, dass man in der Schule Polynomringe mit Koeffizienten aus unterschiedlichen „Grundmengen“ überhaupt nicht behandelt. Eventuell hat dich alles was ich bisher geschrieben habe eh schon etwas verwirrt. Das heißt, wenn deine Lehrerin zu der Aufgabe dazugeschrieben hätte „suche eine Zerlegung in Faktoren im Polynomring mit ganzzahligen Koeffizienten“, dann hätte sie alle Schüler völlig verwirrt.
Wenn ihr im Unterricht Faktoren von Polynomen immer mit ganzzahligen Koeffizienten betrachtet habt, dann ist wohl klar, dass es im Test wieder so gemacht werden soll.

Andere Zerlegungen, die nur im zweiten Ring gültig sind wären beispielsweie 25 + 30t + 9t^2 = 5*(5 + 6t + (9/5)t^2) oder 25 + 30t + 9t^2 = 9*(25/9 + (30/9)t + t^2).
Du siehst, man könnte jede beliebige ganze Zahl a nehmen und würde damit eine Zerlegung 25 + 30t + 9t^2 = a*(25/a + (30/a)t + (9/a)t^2) im Ring der Polynome mit rationalen Koeffizienten erhalten.

Insofern ist das was du gemacht hast nicht gerade falsch, aber ohne richtigen Sinn.

Meine Antwort:
Mathematisch lässt sich diese Frage nicht klären, da dazu in der Schule überhaupt nicht die nötigen mathematischen Voraussetzungen vorhanden sind. Ihr solltet euch da eher auf zwischenmenschlich, persönlicher Ebene versuchen zu einigen.

Grüße von Werner

#10

Hallo Diana Friederike!

Wir behandeln gerade das Thema „Termumformungen“
Da war eine Aufgabenstellung: „Faktorisieren Sie !“
Die eine Aufgabe lautete: 25+30t+9t^2
Meine Lösung war: 3*(8 1/3+10t+3t^2)
ist ja nicht falsch, ich weiß, dass da auch eine binomische
Formel anwendbar ist, aber die Aufgabenstellung verlangt das
meiner Meinung nach nicht.

Also wenn man die Aufgabenstellung so nimmt, wie sie ist, hast Du recht. Es steht nicht explizit da, dass Du unbedingt die entsprechende binomische Formel anwenden sollst. Du kannst aber davon ausgehen, dass bei einer solchen quadratischen Form mit dem Faktorisieren standardmäßig eine Zerlegung in Linearfaktoren gemeint ist. Aber prinzipiell widerspricht Deine Lösung nicht der Aufgabenstellung.

Deshalb habe ich mich bei meiner Lehrerin beschwert und die
meinte, dass man „beim Ausklammern gemeinsame Faktoren
verwenden muss“, also dass das was ich ausklammere ein Teiler
aller Glieder sein muss.

Nein, dazu ist man nicht gezwungen. Du könntest auch die 9 vor dem t^2 als Faktor vor die Klammer ziehen. Wenn es Dir Spaß macht, kannst Du irgendeinen Faktor wie wie etwa pi/2 faktorisieren.

Was sollte Dir das Ausklammern gemeinsamer Teiler hier auch helfen? Der größte gemeinsame Teiler von 9, 30 und 25 ist nämlich 1, und die 1 auszuklammern ist ja relativ witzlos.

Meine Frage ist deshalb: Versteht man unter „Teilbarkeit“ nur,
dass etwas teilbar ist, wenn man eine Zahl durch eine andere
Teilt, eine ganze Zahl rauskommen muss ?

Ja, das ist richtig. Der Teilbarkeitsbegriff ist zunächst mal nur (also was Deinen Schulstoff angeht) für ganze Zahlen definiert. Sind a und b ganze Zahlen, so definiert man

a teilt b (in Zeichen: a | b) genau dann, wenn es eine ganze Zahl k gibt mit b = k * a.

Mit anderen Worten: b enthält a als Faktor.

Bezüglich der Aufgabenstellung: Ziehe die 9 (vor dem t^2) vor die Klammer und erschlage den Rest mit der p-q-Formel. Oder lasse die 9 vor der Klammer und verwende die sogenannte Mitternachtsformel. Eine der beiden Formeln werdet ihr mit Sicherheit im Unterricht gehabt haben.

Liebe Grüße zurück
Karsten

#11

Hallo Diana,

beim Faktorisieren ist es genau so gemeint, dass Du Terme ausklammerst, so dass das Produkt hinterher im besten Falle Linearfaktoren sind.
Teilbarkeit im eigentlichen Sinne meint das Ergebnis mit dem Rest Null. Das bedeutet zum Beispiel, dass die Teiler von 4 die Zahlen 1, 2 und 4 sind.

Gruß
bo_bec

#12

Danke für die Antwort.
Erstmal zum Unterricht: Mir wurde noch nie gesagt, dass ich nicht einen beliebeige Zahl ausklammern darf.
Heißt das jetzt, dass meine Lösung prinzipiell richtig ist oder nicht?
Wie könnte ich meiner Lehrerin begründen, dass meine Lösung nicht falsch ist ?

lg

#13

Erstmal zum Unterricht: Mir wurde noch nie gesagt, dass ich
nicht einen beliebeige Zahl ausklammern darf.

Ja, wahrscheinlich hat deine Lehrerin überhaupt nicht in Betracht gezogen, dass man Teilbarkeit im Polynomring mit rationalen Koeffizienten betrachten könnte. Wie ich schon geschrieben habe, ist das auch ein Fall, der in dieser Art keine Wichtigkeit hat.

Heißt das jetzt, dass meine Lösung prinzipiell richtig ist
oder nicht?

Im Polynomring mit rationalen Koeffizienten ist das schon richtig, aber halt nicht sinnvoll.

Wie könnte ich meiner Lehrerin begründen, dass meine Lösung
nicht falsch ist ?

Na, theoretisch könntest du sagen, dass du im Polynomring mit rationalen Koeffizienten gerechnet hast.

Trotzdem, bleibe ich mal dabei:
Auf dieser mathematischen Ebene zu argumentieren ist in der Schule nicht sinnvoll. Da man von deiner Lehrerin gar nicht erwarten und verlangen konnte, dass sie genau angibt in welchem Polynomring du die Faktorisierung durchführen sollst. In diesem Umfang lernt man über die Teilbarkeitslehre in Polynomringen erst im etwa 5. Semester eines Mathemtikstudiums etwas. Und das auch nur, wenn man sich mit Algebra (darunter versteht man im Studium allerdings etwas ganz anderes als in der Schule) beschäftigt. Wenn deine Lehrerin sich nicht besonders mit Algebra beschäftigt hat, weiß sie eventuell sogar nichts über Teilbarkeit in Polynomringen. Was nicht weiter schlimm wäre, da nicht jeder Mathematiker über alle mathematischen Teilgebiete Bescheid wissen kann. Außerdem ist das Thema für die Schule nicht relevant.

#14

Liebe Diana,

der Teilbarkeitsbegriff ist ursprünglich als „ganzzahlige Teilbarkeit“ zu verstehen, was aber nicht ausschließt, dass beim Faktorisieren mithilfe der binomischen Formeln auch Brüche vorkommen. Also sollten Sie noch mal fragen, ob Ihre Lehrerin „ganzzahlige Teiler“ meint und woran Sie das hätten erkennen sollen.

Streng genommen könnten Sie natürlich auch π ausklammern und dann aus jedem Summanden einen Bruch mit π im Nenner machen. Glauben Sie, dass das gemeint ist? Falls nicht, wo ist die Grenze zu Ihrem Ansatz?

Die Frage ist, ob sich aus dem Kontext der Aufgabe oder des Unterrichts eindeutig ergab, dass mit Hilfe der binomischen Formeln ganzzahlig faktorisiert werden soll.
Das wäre z.B. dann der Fall, wenn in der Überschrift der Klausur als Thema „Binomische Formeln“ steht oder die Klausur einen thematischen Block mit diesem Thema abschließt.

Eindeutiger wäre die Aufgabe gewesen: Faktorisieren Sie so, dass alle im faktorisierten Term vorkommenden Zahlen ganzzahlig sind. Diese Aufgabenstellung hätte aber vielleicht auch zu Verständnisschwierigkeiten geführt, meinen Sie nicht?

Wenn Ihnen an der weiteren konstruktiven Zusammenarbeit mit Ihrer Lehrerin gelegen ist, könnten Sie sie bitten, Ihnen zu erklären,

  • warum ihrer Meinung nach Ihre Lösung, obwohl sie mathematisch richtig ist, die gestellte Aufgabe nicht löst,
  • woran Sie das hätten erkennen können oder sollen
  • woran Sie sich in Zukunft halten können, um die Aufgabenstellung richtig zu verstehen.
    (In den schriftlichen Abschlussprüfungen in Hamburg gibt es sogenannte Operatoren, das sind Schlüsselwörter in der Aufgabenstellung, die eine fest umrissene Bedeutung haben. Es gibt eine tabellarische Aufstellung dieser Operatoren, die auch aufschlüsselt, was genau zu tun ist und wann man mit der Aufgabe fertig ist. Das ist natürlich maximal transparent.
    Vielleicht ist Ihre Lehrerin auch in der Lage, Ihnen die Aufgabenstellungen ähnlich transparent zu machen, z.B. zu erklären, wie das Wort „faktorisieren“ im Kontext einer Klausur in Zukunft zu verstehen ist.)

Sie sollten vorab klären, was Ihr Interesse ist:

  • Wollen Sie die Bewertung der vorliegenden Arbeit ändern? Dann sollten Sie vorher prüfen, ob die Punkteänderung überhaupt zu einer Notenänderung führt.
  • Wollen SIe für die Zukunft mehr Sicherheit bei der Interpretation der Aufgabenstellung? Dann sollten Sie vielleicht im Gespräch mit Ihren Klassenkameraden herausfinden, ob sie mit dieser Frage allein stehen oder andere diese Frage auch haben. Im ersten Fall würde ich die Kameraden fragen, warum die Aufgabenstellung für sie klar war. Im zweiten Fall könnte man gemeinsam die Lehrerin um Klärung bitten.

Ich glaube, wenn Sie die Strategie fahren „Ich würde gerne in Zukunft die Aufgabenstellung verstehen“, wird sich Ihre Lehrerin einem Gespräch nicht verweigern können, in dessen Verlauf sie möglicherweise einsieht, dass sie die Aufgabe eindeutiger hätte formulieren können.

Habe ich Ihre Frage beantwortet?

Viele Grüße, P. Waslowski

#15

Liebe Diana!
Wenn Du zum Gericht gingst (ih sage Du, wie ich es als FOS-Lehrer und FOS-Math.-Buch-Autor immer machte), müßte Dir sogar ein dummer Richter Recht geben.
Beim Verhalten der Lehrerin (andere würden es wohl ähnlich machen)zeigt sich, wie sinnlos oft das ist, was man in der Schule als Mathematik verkauft.
Die Lehrerin hätte sagen müssen: Forme den Ausdruck unter Verwendung einer binomischen Formel (es gibt da ohnehin mehrere)um.
Sinn dieser Aufgaben ist, daß man eben die wichtigste Bin. F. verinnerlicht. und da soll man erkennen, daß die vorgelegten drei Terme ein Quadrat, ein doppeltes Produkt und nocheinmal ein Quadrat sind.
Eine der berühmten Formeln aus der Schule (die hier einzuübende wichtige bin. F.) heißt nämlich a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2.
25 = a^2, also a = 5.
9t^2 = b^2, also b = 3t
Jetzt muß man schauen, ob der dritte Ausdruck (30t) wirklich „2ab“ ist. Und es stimmt: 2x5x3t = 30t.
Nun kann man zurückformen und mit Sicherheit sagen
;
(5 + 3t)^2 = 5^2 + (3t)^2 + 2x5x3t = 25 + 9t^2 + 30t.

Die übliche und auch sinnnvolle Reihenfolge ist a^2 + 2ab + b^2; ich habe das b^2 vorgezogen.
In der Schulbibliothek wird sicher mein FOS-Nichttechniker-Buch „Lehrbuch der Schulmnathematik“ stehen. Vielleicht ein Tip! Es ist jedoch etwas umfangreicher als der gegenwärtige abgespeckte Lehrplan.

Gruß
Karl Röttel, Eichstätt (FOS Ingolstadt)

#16

Liebe Diana,

in der Tat ist bei Faktorisierung, wenn eine ganze Zahl vor den Ausdruck in der Klammer gezogen wird,
die Teilbarkeit so zu verstehen, dass bei Teilung ebenfalls eine ganze Zahl herauskommen muss.

Die Aufgabenstellung verlangt zwar nicht explizit die Anwendung einer binomischen Formel, aber sie liegt nahe und ist hier auch die einzige Möglichkeit zur Faktorisierung, deswegen müsste man sie hier anwenden.

Viele Grüße
Michael

#17

Danke für ihre Antwort !

Ich hätte noch eine Frage: Wie soll ich meiner Lehrerin erklären, dass mein Lösungsweg nicht falsch ist? (kann auch verstehen, wenn sie nicht so schnell nachgibt, sie ist ja schließlich die Lehrerin)
Es hat sich jetzt in der heutigen Mathestunde gezeigt, dass sie auch nicht damit leben kann, wenn ich bei Aufgaben wie (8x-3y)/(0,5x)einfach im Nenner 0,5 ausklammere (meineer Meinung nach das logischste, weil ich dann kürzen kann)

also: 0,5*(16x-6y)/(0,5x)
dann 0,5 wegkürzen: (16x-6y)/x

ist das richtig oder falsch ?
Meine Lehrerin ist der Meinung, dass ich das nicht machen kann.

Ich hoffe du kannst mir nóchmal helfen

lg

#18

„Faktorisieren Sie!“ heißt ja nicht „Prüfen Sie auf Teilbarkeit!“, was sowieso bei Termen nicht dasselbe bedeuten würde wie bei reinen Zahlen.
Faktorisieren meint „in – möglichst viele – Faktoren zerlegen“. Deine Lösung ist wohl richtig, aber im Zusammenhang mit dem vorausgegangenen Unterricht (Darauf kommt‘s an !?) anscheinend nicht die erwartete Antwort….
Da könnte man lange streiten, bringt aber nichts.
Man könnte z.B. 1 Punkt für 3*(8 1/3+10t+3t^2) und 2 Punkte für 25+30t+9t^2 = (3t+5)* (3t+5) geben.

#19

Liebe Diana,
natürlich meint die Lehrerin die Faktorisierung in der Form (5+3t)^2. Ich nehme an, dass der Sprachgebrauch im Unterricht geklärt wurde. Zum Thema Ausklammern kann ich nur feststellen: außer Null kann man jede Zahl ausklammern; dazu muss jeder Summand einfach durch die gewählte Ausklammerungszahl dividiert werden.
Viel Erfolg in der weiteren Schulzeit wünscht
Joachim Huber

#20

hallo diana!
sorry, leider hat yahoo die wer weiß was mails in meinen spam-ordner geschmissen.
zu deiner fast selbst beantworteten frage: ja, unter teilbarkeiten versteht man im allgemeinen ganzzahlige teilermengen!
faktorisieren meint u.a. ja einfach eine „Mal-Aufgabe“ herstellen und deine idee, zu binomisieren ist eine mal-aufgabe mit zwei klammern! also richtig!!
hoffe, die antwort hat so spät noch geholfen.
gruß ulf mohr