Hallo zusammen,
ich befasse mich grad mit der vollständigen Induktion. Für Summen und Produkte habe ich das soweit auch verstanden und kann es anwenden.
Beweise von Teilbarkeit laufen aber noch etwsa holprig. Wäre nett, wenn ihr mal einen Blick werfen würdet, ob mein Beweis so richtig ist.
Behauptung: 2^3n-1 ist durch 7 teilbar für alle n Element N
Induktionsanfang:
n0=1
2^3-1=7 (7 ist durch 7 teilbar, Induktionsanfang ist gültig)
Induktionsannahme:
2^3n-1 ist für ein n>=n0 durch 7 teilbar. Dann gibt es m Element Z für das gilt: 2^3n-1 = 7m 2^3 = 7m+1
Induktionsschritt:
Zu zeigen ist, wenn 2^3n-1=7m mit m Element Z, dann gibt es ein m’ Element Z mit 2^3(n+1) - 1 = 7m’
Dann gilt:
2^(3n+1)-1 = 2^3n * 2^3 -1 = (7m + 1) * 2^3 - 1 = 7m * 2^3 + 2^3 - 1 = 7 * (2^3m + 1)
Es gibt also ein m’ = 2^3m + 1 Element Z mit 2^3(n+1) - 1 = 3m’
Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behauptung.
Ist das so ok? Oder habe ich noch was vergessen?