Hallo sphenoidale,
die Telekom gewährt eine vorzeitige Kündigung wenn der Kunde in einen Haushalt zieht, in dem bereits ein Telekom-Vertrag mit Laufzeit besteht. Offiziell muss dies ein „höherwertiger“ Telekom-Vertrag sein. Die aktuellen betrieblichen Regelungen besagen aber lediglich, dass eine Vertragslaufzeit bestehen muss. Außerdem darf für diesen bestehenden Vertrag keine Kündigung ausgesprochen worden sein.
Natürlich dürfen die Vertragspartner nicht identisch sein. Die Aufgabe eines Zweitwohnsitzes (mit zweitem Vertrag) und das Bestehenbleiben eines Hauptwohnsitz (mit erstem Vertrag) ist eben kein Umzug. Ich gehe mal davon aus, dass der bestehende Vertrag auf deine Eltern bzw. auf ein Elternteil läuft. Daher sollte es keine Probleme geben.
Es gibt zwar dieses Gesetz, welches besagt, dass der Netzbetreiber einer vorzeitigen Kündigung stattgeben muss, wenn wichtige Gründe (des Kunden) vorliegen. Allerdings besagt dieses Gesetz auch das der Netzbetreiber für die fehlende Restlaufzeit Schadenersatz geltend machen kann.
In dem von dir beschriebenen Fall verzichtet die Telekom auf Schadenersatz (Ablösezahlung). Es ist also beides; Sonderkündigungsrecht und Kulanz. 
Für die vorzeitige Kündigung schicke also bitte ein formloses Kündigungsschreiben unter Angabe der Umstände („ich ziehe zurück zu meinen Eltern“, die Krankengeschichte ist nicht relevant), deines Wunschtermines (nicht Sonntag), der Rufnummer und/oder Kundennummer deiner Eltern (zum Prüfen der bestehenden Vertragslaufzeit) und selbstverständlich deiner eigenen Kundendaten.
Außerdem wird als Nachweis (wie du schon vermutest) eine aktuelle Meldebescheinigung und ein (Unter-)Mietvertrag benötigt. Wenn ein gemeinsamer Mietvertrag bzw. Untermietvertrag nicht vorhanden ist, genügt auch eine schriftliche Bestätigung deiner Eltern, dass du jetzt/dann in diesem Haushalt wohnst.
Wichtig ist vielleicht noch, dass es wirklich eine aktuell ausgestellte Meldebescheinigung sein muss und dass daraus hervorgeht, dass dies dein Hauptwohnsitz ist. Wie lange du dort bereits gemeldet bist, spielt keine Rolle.
Meldebescheinigung/Mietvertrag etc. kann übrigens auch nachgereicht werden. Lediglich der Eingang der Willenserklärung (Kündigungsschreiben) ist für die Wahrung von Fristen (in deinem Falle nur noch 6 Werktage) relevant.
LG
ishtari
