Hallo
ich schaffe es nicht, von folgender Textaufgabe das mathematische
Modell aufzustellen.
Eine eiserne Hohlkugel mit dem inneren Radius R und dem äußeren Radius
2R hat an der Innenfläche eine konstante Temperatur von 100° und an der
Außenfläche 20°C.
Bestimme die Temperatur innerhalb er Wandung in einem beliebigen
Abstand r vom Mittelpunkt (R
Auch hallo.
Eine eiserne Hohlkugel mit dem inneren Radius R und dem
äußeren Radius
2R hat an der Innenfläche eine konstante Temperatur von 100° (=T0)
und an der
Außenfläche 20°C. (=T1)
Bestimme die Temperatur innerhalb er Wandung in einem
beliebigen
Abstand r vom Mittelpunkt (R Oberfläche* die Formel dT/dr = 1/4*Pi*r^2 -> (T0-T1)/dr = 1 / 4*Pi*r^2
…so in etwa ging das (schwaches Gedächtnis >:frowning: )
HTH
mfg M.L.
Salut!!
Vielen Dank dir.
Differentialgleichungen habe ich mir noch gar nicht beigebracht…
Ich nehm die Lösung einfach mal zur Kenntnis und hoffe das Verstehen
kommt später auch noch.
Was heißt die Abkürzung „HTH“?
lg Sarah
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo nochmal.
Salut!!
Vielen Dank dir.
Bitte (*heimlich 574 Sternchen polier*)
Differentialgleichungen habe ich mir noch gar nicht
beigebracht…
Daher kennt der Autor dieser Zeilen die Aufgabe 
Ich nehm die Lösung einfach mal zur Kenntnis und hoffe das
Verstehen
kommt später auch noch.
Aber bitte beachten: das war mit heisser Nadel gestrickt. Also
bitte nicht damit die Finger verbrennen…
Was heißt die Abkürzung „HTH“?
Hope This Helps (engl.) -> Ich hoffe das hilft (dt. *g*)
mfg M.L.
Hallo Sarah,
das Absinken der Temperatur dT / dr ist umgekehrt
proportional der Fläche der Kugel mit dem Radius r.
Die Kugel mit dem Radius r hat die Oberfläche 4 π r².
„x proportional zu y“ heißt, dass x = α y gilt, mit einem konstanten, festen α („Proportionalitätsfaktor“ genannt). „x umgekehrt proportional y“ heißt, dass x proportional zu 1/y ist.
Also gilt hier:
dT/dr = α/(4 π r²)
Lies es einfach als f’(x) = a/(4 π x²); das ist Dir bestimmt vertrauter. Wenn aber f’(x) = a/(4 π x²) gilt, wie muss dann f(x) aussehen? Dazu mußt Du Dir die Stammfunktion von a/(4 π x²) überlegen. Das ist aber kein Problem: f(x) = –a/(4 π x) + C. So muss f(x) aussehen, denn rechts von dem Gleichheitszeichen steht der allgemeinste Ausdruck, dessen Ableitung gleich a/(4 π x²) ist.
Übertragen auf das T:
T® = –α/(4 π r) + C [
]
Soweit, so gut. Rechts stehen zwei Größen, die noch unbekannt sind, nämlich das α und das C. Aber Du hast ja auch zwei Randbedingungen aus der Aufgabenstellung, nämlich
T® = 100 °C
T(2 R) = 20 °C
Wenn Du die beiden linken Seiten über [] ausdrückst, ergibt das:
–α/(4 π R) + C = 100 °C
–α/(4 π 2 R) + C = 20 °C
Daraus kannst Du α und C bestimmen. Die Ergebnisse in [] einsetzen und über das Resultat freuen:
T® = 160 °C (R/r) – 60 °C.
Mach die Probe – es stimmt *gg*.
Mit freundlichem Gruß
Martin