Textaufgabe - Stehe auf dem Schlauch

Wissenschaft Physik
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Liebe Experten,

ich stehe bei folgender am Stammtisch aufgekommenen Textaufgabe völlig auf dem Schlauch:

_Du hast 5000 € und sollst auf einem Viehmarkt für diese 5000 € genau 100 Tiere kaufen. Es stehen folgende Tiere zur Auswahl:

1 Rind kostet 500 €
1 Schwein kostet 150 €
1 Hase kostet 25 €

Wieviele Tiere welcher Sorte musst du kaufen?_

Nun ergeben sich dadurch folgende Gleichungen:

x + y + z = 100 (Anzahl der Tiere)
500x + 150y + 25z = 5000 (Geldsumme und Tierpreise)

Ich weiß die Lösung, die durch probieren auch herauszufinden ist, aber ich möchte das gerne auf mathematisch korrektem Weg lösen. Soweit ich mich erinnere, ist sowas nur dann lösbar, wenn es mindestens so viele Gleichungen wie Variablen gibt. Wo ist diese dritte Gleichung versteckt? Und wie mache ich dann weiter? 'S iss scho so lang her. :frowning: Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen?

Gruss
Heiliger Bimbam

2

Hallo,

Nun ergeben sich dadurch folgende Gleichungen:

x + y + z = 100 (Anzahl der Tiere)
500x + 150y + 25z = 5000 (Geldsumme und Tierpreise)

Alles richtig. 2 Gleichungen und 3 Unbekannte, d.h. dieses Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar, sondern es gibt sogar unendlich viele Lösungen. Oder anders - Du kannst eine der 3 Variablen frei wählen.
Nur - in diesem Fall gibt es eine Randbedingung! Alle drei Variablen müssen natürliche Zahlen sein. In diesem Fall kann es sein, dass es eine, mehrere oder auch gar keine Lösung gibt. Und meiner Meinung nach kann man sowas eigentlich nur durch (sinnvolles) Probieren lösen.

Olaf

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Diophant
Hi,

so hieß der alte Grieche, der sich ausführlich mit Problemen befasst, bei denen die Ganzzahligkeit eine Rolle spielt. Mehr weiß ich aber nicht von ihm, vor allem nicht, ob er für solche Fragestellungen auch einen Werkzeugkasten liefert.

auf mathematisch korrektem Weg lösen.

Das kann ich auch nicht, aber immerhin: Durch geschickte geeignete Umformung lässt sich eine Darstellung finden, aus der die Lösung leicht hervorgeht.

Also erstmal kürzen, eine Variable eliminieren, dann bleibt ein Term (einer von vielen möglichen) übrig:

r = (100 - 5s) / 19

Da die Anzahl der Rinder r und die Anzahl der Schafe s ganzzahlig sein müssen, kann der Zähler des Bruches nur ein Vielfaches von 19 und 5 sein. Da bleibt nicht viel, genau genommen nur 95, woraus folgt, dass s = 1 sein muss. Und daraus wiederum r = 5 und h = 94.

Der Trick scheint zu sein, einen Bruch zu erzeugen, der eine möglichst krumme Zahl im Nenner hat.

Gruß Ralf

4

Hallo,

ja so richtig geht das im Allgemeinen nur, wenn man sich mit dem genannten Diophant und ein wenig Zahlentheorie richtig beschäftigt.
In Deinem speziellen Fall kann man aber ganz gut die Lösung finden.
Du hast ja bereits die zwei wichtigen Gleichungen:

(I) x + y + z = 100 (Anzahl der Tiere)
(II) 500x + 150y + 25z = 5000 (Geldsumme und Tierpreise)

An der Lösung ändert sich nichts, wenn Du die Gleichung (II) auf beiden Seiten durch 25 teilst. Dann kommt raus:

(I) x + y + z = 100
(II) 20x + 6y + z = 200

Jetzt stellst Du die Gleichung (I) nach z um:

(I) z = 100 - x -y
(II) 20x + 6y + z = 200

Nun setzt Du die Bedingung für z in (II) ein:

(I) z = 100 - x -y
(II) 20x + 6y + 100 - x - y = 200

Und wenn Du mal etwas zusammenfasst erhältst Du:

(I) z = 100 - x - y
(II) 19x + 5y = 100

Wir subtraieren bei Gleichung (II) auf beiden Seiten die 5y (warum sieht man gleich)

(I) z = 100 - x - y
(II) 19x = 100 - 5y

Wenn man jetzt etwas Übung hat dann fällt einem auf, dass die 19 eine Primzahl ist und auch die 5. Wir klammern mal auf der rechten Seite von Gleichung (II) die 5 aus:

(I) z = 100 - x - y
(II) 19*x = 5 * (20 - y)

Jetzt hat die Gleichung (II), zusammen mit der Bedinung, dass x und y natürliche Zahlen sein sollen, unheimlich viel Aussagekraft.
Wir sammeln mal zusammen:

  1. Die linke Seite von (II) ist größer oder gleich 0, weil x größer oder gleich Null ist. Deshalb ist die rechte Seite auch größer oder gleich Null. Daher ist 20-y größer oder gleich Null. Und liegt y zwischen 0 und 20. (schränkt die Sache schon ein).
  2. Die linke Seite von (II) ist durch 19 teilbar. Also auch die rechte Seite. Da 5 aber nicht durch 19 teilbar ist, muss (20-y) durch 19 teilbar sein. Zwischen 0 und 20 gibt es aber nur zwei Zahlen die durch 19 teilbar sind: 0 und 19. Daraus folgt:
    y = 20 oder y = 1 (jetzt geht ausprobieren schon schneller)

Jetzt machen wir mal die Fallunterscheidung:

Fall 1: y=1

Einsetzten in (I) und (II) führt zu:

(I) z = 100 - x - 1
(II) 19x = 100 - 5*1

bringt uns auf

(I) z = 99 - x
(II) x = 5

Und somit auf

x = 5 ; y = 1 ; z = 94

Fall 2: y=20

Einsetzen in (I) und (II) bringt uns:

(I) z = 100 - x - 20
(II) 19x = 100 - 5*20

führt zu:

(I) z = 80 - x
(II) 19x = 0

führt zu:

x = 0 ; y = 20 ; z = 80

Folglich hat Deine Aufgabe genau zwei Lösungen:
1)
Du kaufst 5 Rinder, ein Schwein und 94 Hasen oder
2)
Du kaufst kein Rind, 20 Schweine und 80 Hasen.

In jedem Fall solltest Du was für Hasen übrig haben.

Beste Grüße,
Zwergenbrot

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Hoi philipp!

genial!
ich war zwar auch beim dritten Versuch bei der Lösung… aber Dein Denkansatz macht mir echt Spaß!
Besten Dank!
Ulli, die gerade ein Menge gelernt hat.

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Hi Olaf…

wenns zB auch halbe und viertel und achtel usw. Hähnchen zu kaufen gibt dann gibt es tatsächlich unendlich viele Lösungen. Ich denke aber dass man die Viecher nur im ganzen kauft aufm Markt :smile:.

gruß
Philipp

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Hallo,

Alles richtig. 2 Gleichungen und 3 Unbekannte, d.h. dieses
Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar, sondern es gibt
sogar unendlich viele Lösungen. Oder anders - Du kannst eine
der 3 Variablen frei wählen.

Olaf hat in sofern recht, dass man in diesem speziellen Fall auf einen Blick sagen kann, dass es unendlich viele Lösungen im Bereich der rationalen Zahlen gibt.

(und obwohl Olaf das sicher weiß, will ich der Vollständigkeit halber nur erwähnen:smile:

Generell reicht es aber nicht einfach aus zu zählen: 2 Gleichungen, 3 Unbekannte => unendlich viele Lösungen.

Beispiele:
Das System
(I) x+y+z=1
(II)x+y+z=2
hat zwei Gleichung, drei Unbekannte und keine Lösung.
Hingegen hat das System
(I) x+y+z=1
(II) 2x+2y+2z=2
(III)x+2y+2z=2
(IV) x+2y+3z=3
zwar 4 Gleichungen und drei Unbekannte, aber genau eine Lösung.

Die Lösbarkeit solcher Gleichungssysteme hängt davon ab, ob die einzelnen Zeilen voneinader linear unabhängig sind oder nicht.
Die einfachste Variante sowas zu lösen ist Gaußalgorhithmus.
Allerdings funktioniert dieser nur für Gleichungssysteme mit rationalen oder reellen Lösungen. Bei der Suche von ganzzahligen Lösungen scheitert man mit Gauß.

Beste Grüße,
Zwergenbrot

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Danke für die Blumen. :wink:

9

Vielen Dank !!! (o.w.T.)
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