… außerhalb der Kurve
Ich hänge total bei folgender Aufgabe:
Der Flugweg einer Rakete nach dem Start wird durch y=sqrt[x] dargestellt. Eine Radarstation, die sich 2km hinter der Startrampe befindet, soll den Flug verfolgen. Finde den größten Elevationswinkel, den die Radarstation benötigt, um die Rakete zu verfolgen (wenn die Startrampe bei (0,0) steht und die Radarstation bei (-2,0)).
Könnte mir jemand einen Tipp geben? Vielen Dank!
Ach so, mein Ansatz, bzw. meine Gedanken bisher:
Die Tangente folgt der Form y=mx+b.
An dem Punkt, an dem die Tangente die Kurve berührt, ist m gleich dem Derivat y’ von y=sqrt(x), also 0.5x^-0.5.
Da die Tangente durch (-2/0) geht, kann man sagen, daß b=2m ist (0=-2m+b b=2m).
Hallo!
Der Flugweg einer Rakete nach dem Start wird durch y=sqrt[x]
dargestellt. Eine Radarstation, die sich 2km hinter der
Startrampe befindet, soll den Flug verfolgen. Finde den
größten Elevationswinkel, den die Radarstation benötigt, um
die Rakete zu verfolgen (wenn die Startrampe bei (0,0) steht
und die Radarstation bei (-2,0)).
Was du suchst ist der Berührpunkt der Tangente. Nennen wir die x-Koordinate u, dann suchst du einen Punkt B(u/f(u)).
Die Steigung der Tangente kannst du nun auf zwei Arten ausdrücken. Einerseits gilt
m=f’(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}
Andererseits (mit Hilfe eines Steigungsdreiecks von (-2,0) nach B)
m=\frac{f(u)-0}{u-(-2)}=\frac{\sqrt{u}}{u+2}
Durch Gleichsetzen bekommst du u und damit auch m raus. b bekommst du dann durch Einsetzen von (-2,0) in die Tangentengleichung.
Alternativ kannst du auch die Tangentengleichung
t:y=f’(u)(x-u)+f(u)
verwenden und dort (-2,0) einsetzen um dann u rauszukriegen. Das geht wahrscheinlich sogar schneller.
Gruß,
hendrik
Hallo Hendrik,
zuerst einmal ganz herzlichen Dank für die Mühe, die Du Dir gemacht hast und für die einfache Erklärung!
Ich habe das mal ausgerechnet und komme über das Steigungsdreieck auf u=2.
Wenn ich das in f’(u) einsetze, bekomme ich 0.5(sqrt[2])=0.707 raus und damit einen Winkel von 35.26°. Leider ist das das Doppelte von dem, was ich über das Plotterprogramm Graphmatica rausbekommen habe. Habe ich mich irgendwo verrechnet?
Hallo!
Ich habe das mal ausgerechnet und komme über das
Steigungsdreieck auf u=2.
Richtig.
Wenn ich das in f’(u) einsetze, bekomme ich 0.5(sqrt[2])=0.707
raus
Hier liegt der Fehler. Die Ableitung ist
f’(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}
Gruß,
hendrik
Ahhh, jetzt seh’ ich es…
Vielen Dank für die Super-Hilfe! 