Thema Mathe Die Ableitung der Potenzfunktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hilfe in Mathe, verstehe wie immer gar nichts.

Aufgabe :

Hier sind die Exponenten natürliche Zahlen. Bestimmen Sie f´(x) für f mit

  • f(x)= x hoch k
  • f(x) = x hoch 3n
  • f(x)= x hoch 2k+1
  • f(x) = x hoch 3-m
  • f(x) = x hoch 3n-2
  • f(x) = x hoch -n+5
  • f(x) = x hoch 1-3n
  • f(x) = x hoch -3+2k
  • f(x) = x hoch m+n
  • f(x) = x hoch 2-2n

Diese Aufgabe noch :

Gegeben sind die Funktion f und der Punkt B ( X b / y b ). Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente in B an den Graphen von f. :

f(x) = x hoch 4 ; B(-2/y b)

Und diese Aufgabe :

An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f die angegebene Steigung m ? :

f(x) = x hoch 4 ; m = 0; 1/2; 1

Suche auserdem jemanden der mir das bis zum 28 erklärt. Da wir dann die Arbeit schreiben.

danke im voraus :smile:

#2

Hi,

hier die Ergebnisse:

  • f(x)= x hoch k ->k*x hoch k-1
  • f(x) = x hoch 3n ->3*n*x hoch 3*n-1
  • f(x)= x hoch 2k+1 ->(2*k+1)*x hoch 2*k
  • f(x) = x hoch 3-m ->(3-m)*x hoch 2-m
  • f(x) = x hoch 3n-2 ->(3*n-2)*x hoch 3*n-3
  • f(x) = x hoch -n+5 ->(-n+5)*x hoch -n+4
  • f(x) = x hoch 1-3n ->(1-3n)*x hoch -3*n
  • f(x) = x hoch -3+2k ->(-3+2k)*x hoch 2*k-4
  • f(x) = x hoch m+n ->(m+n)*x hoch m+n-1
  • f(x) = x hoch 2-2n ->(2-2*n)*x hoch 1-2n

Für den Rest fehlt mir leider die Zeit. Aber Steigung m berechnest du mit der ersten Ableitung

Ableiten:

Den Exponenten mit dem x multiplizieren und vom Exponenten 1 abziehen.

Beispiel:

x hoch 2 -> 2*x hoch 2-1 = 2*x hoch 1 = 2*x
2*x hoch 2 -> 4*x hoch 2-1 = 4*x hoch 1 = 4*x

Viel Erfolg bei deiner Arbeit

Gruß Nils

Hilfe in Mathe, verstehe wie immer gar nichts.

Aufgabe :

Hier sind die Exponenten natürliche Zahlen. Bestimmen Sie
f´(x) für f mit

  • f(x)= x hoch k ->k*x hoch k-1
  • f(x) = x hoch 3n ->3*n*x hoch 3*n-1
  • f(x)= x hoch 2k+1 ->(2*k+1)*x hoch 2*k
  • f(x) = x hoch 3-m ->(3-m)*x hoch 2-m
  • f(x) = x hoch 3n-2 ->(3*n-2)*x hoch 3*n-3
  • f(x) = x hoch -n+5 ->(-n+5)*x hoch -n+4
  • f(x) = x hoch 1-3n ->(1-3n)*x hoch -3*n
  • f(x) = x hoch -3+2k ->(-3+2k)*x hoch 2*k-4
  • f(x) = x hoch m+n ->(m+n)*x hoch m+n-1
  • f(x) = x hoch 2-2n ->(2-2*n)*x hoch 1-2n

Diese Aufgabe noch :

Gegeben sind die Funktion f und der Punkt B ( X b / y b ).
Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente in B an
den Graphen von f. :

f(x) = x hoch 4 ; B(-2/y b)

Und diese Aufgabe :

An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f die angegebene
Steigung m ? :

f(x) = x hoch 4 ; m = 0; 1/2; 1

Suche auserdem jemanden der mir das bis zum 28 erklärt. Da wir
dann die Arbeit schreiben.

danke im voraus :smile:

#3

Hi Juliana,
die Regel für die Ableitung einer Funktion f(x)=x^k nach x lautet Allgemein: f’(x)=k*x^(k-1). f’’(x), f’’’(x) usw. analog. Du musst also nur für „k“ deine Werte einsetzen, die du gegeben hast (z.B. 3m oder 2k+1 usw.) und dann hast du schon die Ableitung.

Die 1. Ableitung einer Funktion gibt dir allgemein die Steigung dieser Funktion an einem beliebigen Punkt an. Wenn du also für f’(x) einen x-Wert einsetzt, kriegst du die Steigung in dem Punkt für den Punkt (x/f(x)) (f(x) ist der y-Wert). Die Tangente besitzt genau die Steigung der Funktion an dem Punkt. Für die Gleichung dieser Tangente (es ist eine lineare Funktion der Form f(x)=m*x+n) brauchst du also noch deinen n Wert. Setze also in diese Form deinen x und y (bzw. f(x) Wert) ein und du hast dein n.

Das geht natürlich auch andersrum. Du leitest die Funktion ab und schaust, an welcher Stelle x die Funktion f’(x) den entsprechenden Wert m annimmt. Also einfach z.B. 1/2=m=f’(x)=(x^4)’ setzen und nach x auflösen.

Liebe Grüße

Benni

#4

Hallo,

komme erst jetzt zum Antworten:

Die 1. Ableitung von x^n ist n*x^(n-1)

Also für die Beispiele:

  • f(x) = x hoch k => f’(x) = k x^(k-1)
  • f(x) = x hoch 3n => f’(x) = 3n x^(3n-1)
  • f(x )= x hoch 2k+1 => f’(x) = (2k+1) x^(2k)
  • f(x) = x hoch 3-m => f’(x) = (3-m) x^(2-m)
  • f(x) = x hoch 3n-2 => f’(x) = (3n-2) x^(3n-3)
  • f(x) = x hoch -n+5 => f’(x) = (5-n) x^(4-n)
  • f(x) = x hoch 1-3n => f’(x) = (1-3n) x^(-3n)
  • f(x) = x hoch -3+2k => f’(x) = (2k-3) x^(2k-4)
  • f(x) = x hoch m+n => f’(x) = (m+n) x^(m+n-1)
  • f(x) = x hoch 2-2n => f’(x) = (2-2n) x^(1-2n)

Bei der nächsten Aufgabe hilft evtl. die Punkt-Steigungs-Form der Geraden y=m(x-xb)+yb, die mit der Funktionsgleichung gleichgesetz wird, wobei je nach m nur eine Lösung existieren darf.

Nächste Aufgabe
f(x) = x^4 => f’(x) = 4 x^3 (= m)
4 x^3 = 0 => x = 0 => P(0/0)
4 x^3 = 0,5 => x^3 = 0,125 => x = 0,5 => P(0,5/0,0625)
4 x^3 = 1 => x^3 = 0,25 => x ~ 0,63 => P(0,63/0,1575)
Die Punkte P ergeben sich durch Einsetzen von x in die Funktionsgleichung y = x^4

Melde mich wegen der mittleren Aufgabe evtl. noch mal.
Ohne Gewähr für Leichtsinnsfehler :smile: Bis dann, Gruß

#5

Sorry, bin in den nächsten Tagen stark überlastet, sonst gerne - vielleicht klappt´s ein anderes Mal.

Gruß Bernd

#6

Also das sind im Prinzip alles die gleiche Ableitungen. Anstatt ‚hoch‘ schreibe ich’^’. Du schreibst die Potenz als Faktor vor das x und reduzierst sie um 1. Am 1. Bsp gut zu erkennen. Alle anderen folgen dem gleichen Prinzip
f´(x) für f mit

  • f(x)= x hoch k f’(x) = k*x^(k-1)
  • f(x) = x hoch 3n f’(x) = 3n*x^(3n-1)
  • f(x)= x hoch 2k+1 f’(x) = (2k+1)*x^2k
  • f(x) = x hoch 3-m f’(x) = (3-m)*x^(2-m)
  • f(x) = x hoch 3n-2 f’(x) = (3n-2)*x^(3n-3)
  • f(x) = x hoch -n+5 f’(x) = (-n+5)*x^(-n+4)
  • f(x) = x hoch 1-3n f’(x) = (1-3n)*x^(-3k)
  • f(x) = x hoch -3+2k f’(x) = (-3+2k)*x^(-4+2k)
  • f(x) = x hoch m+n f’(x) = (m+n)*x^(m+n-1)
  • f(x) = x hoch 2-2n f’(x) = (2-2n)*x^(1-2n)

2.) Erstmal zur Steigung: Die Ableitung gibt die Steigung im jeweiligen Punkt an.
f(x)=x^4 -> f’(x)=4*x^3
Also ist die Steigung 0, wenn f’ =0, bei x =0
f’ = 1/2 für x = ± 0,5
f’ = 1 für x = ± (1/4)^1/3