hallo leute,
vielleicht steigt jmd bei dieser kniffligen aufgabe durch…
Bekanntlich sind echte Zufallszahlen nur schwer zu erzeugen. Angenommen,
unsere Hardware kann keine Zufalls-Bits sondern nur Zufalls-Trits (also über {0; 1; 2} gleichverteilte
Werte) erzeugen.
(a) Ist es möglich, mit Hilfe solcher Trits eine zufällige Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit
genau 1/2 zu treffen? Falls ja, gib ein Verfahren an, dass im Erwartungswert
möglichst wenige Zufalls-Trits benötigt und bestimme den Erwartungswert deines Verfahrens.
(Kein Optimalitätsbeweis nötig.)
(b) Für welche Konstanten x Element [0; 1] kannst du mit Hilfe von d Zufalls-Trits eine zufällige
Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit genau x treffen? Begründe kurz, weshalb keine
anderen als die von dir genannten Wahrscheinlichkeiten möglich sind.
Vielleicht steigt jmd. besser durch als ich, danke…
(a) Ist es möglich, mit Hilfe solcher Trits eine zufällige
Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit
genau 1/2 zu treffen? Falls ja, gib ein Verfahren an, dass im
Erwartungswert
möglichst wenige Zufalls-Trits benötigt und bestimme den
Erwartungswert deines Verfahrens.
(Kein Optimalitätsbeweis nötig.)
Das sollte wohl möglich sein. Dazu könnte man die 1 zum Mittelpunkt ernennen. Oder man führt mehr als eine Simulation durch. Oder…
(b) Für welche Konstanten x Element [0; 1] kannst du mit Hilfe
von d Zufalls-Trits eine zufällige
Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit genau x treffen? Begründe
kurz, weshalb keine
anderen als die von dir genannten Wahrscheinlichkeiten möglich
sind.
(a) ist im Prinzip ein randomisierter Test mit kritischer Zahl 1. Nach dem Fundamentallemma von Neyman-Pearson ist das der beste Test.
Führe das Zufallsexperiment durch.
Bei „0“ entscheidest du dich für „nein“, bei „2“ entscheidest du dich für „ja“. Bei „1“ führst du ein neues Experiment durch und entscheidest dich wie oben.
Die Wahrscheinlichkeit für „ja“ konvergiert gegen 1/2, der Erwartungswert ist (1 - 1/3)/(1/3) = 2. Begründung: Geometrische Reihe.
(b) jede W’keit x, die sich als summe(i=1 bis d) (j_i)/(3^i) darstellen lässt, wobei (j_i) aus {1;2}, d aus |N. Also 1/3, 2/3, 1/3 + 1/9, 2/3 + 1/9, 1/3 + 2/9 usw. sowie natürlich die 0 und die 1.
Alles ohne Gewähr, da ich gerade keine Zeit habe, tiefer einzusteigen.
LG
Katharina
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
nach einigem Nachdenken glaube ich, dass der Erwartungswert für die Anzahl der Trits, die du brauchst, um eine Entscheidung zu treffen, bei 3/2, also 1,5 liegt. Zwar liegt zunächst mal schon eine geometrische Reihe vor, aber beim Erwartungswert brauchst du die geometrischen Verteilung. Und da die W’keit, in jedem Zug eine Entscheidung zu treffen, bei p=2/3 liegt und der Erwartungswert der geometrischen Verteilung bei 1/p, müsste 1.5 rauskommen.