Hallo Andi,
Ihre Fragen lassen sich zum größten Teil durch einer Antwort, die ich für 2 Anfragen zusammen behandelt habe, klären. In einschlägigen Taschenbüchern finden Sie Listen mit c_v-Werten für alle gängigen Gase. Wenn die geforderte Genauigkeit eine Behandlung als ideales Gas zuläßt, können Sie für trockene Luft ein 2-atomiges Gas mit kappa („k“ im nachfolgenden Artikel) = 1,4 = c_p/c_v verwenden. T2 Finden Sie unter „Adiabate, Isentrope“. Gut lesbar läßt sich das leider nur über GoogleMail übertragen.
Thermodynamik
Energie, Enthalpie, Entropie, Boltzmann-Formel
Wenn der Lehrer Lücken läßt, ist es ratsam, die Aussagen zu obigen Themen von drei Autoren, die nicht vom gleichen Urheber abgeschrieben haben, zu verwerten.
Quellen:
Brockhaus, Mayers Enzyklopädie, Ullmanns Encyklopädie der technischen Chemie (Band 1), Lexikon der Chemie (Spektrum), Römpp Chemie Lexikon, Hütte, Dubbel, (Engel, Reid, „Physikalische Chemie“, Pearson Studium, www.pearson-studium.de; über Fernleihe z. B. bei der Stadtbibliothek Nürnberg erhältlich; behandeln auch die Boltzmann-Formel), u. v. a.
Zur besseren Übersicht ist es von Vorteil, die vielen Formeln in Spalten sortiert zu konzentrieren. Besonders fruchtbar ist die Betrachtung der Differentialfomeln. Damit Fehler gleich erkannt werden, sollte man bei den Berechnungen immer die jeweiligen Dimensionen mit eintragen.
Beispiel: ideales Gas, quasistatische isobare Zustandsänderung, Temperaturbereich mit konstantem cp.
Die Form ds = dqreversibel/T zeigt, daß für ein gleiches ds das dqreversibel in einem konstanten Verhältnis zu T stehen muß (logarithmische oder auch gleichprozentige Funktion).
dqreversibel = cp dT
dsT = cp dT/T s2T - s1T = cp (ln T2 - ln T1) = cp ln (T2/T1)
dSW = kWdW/W S2W - S1W = kW (ln W2 - ln W1) = kW ln (W2/W1)
Für ein gleiches Ergebnis von s2T - s1T oder S2W - S1W der logarithmischen (gleichprozentigen) Funktionen (dT/T oder
dW/W = konstant) ist unabhängig von den jeweiligen Werten von T oder W nur ein gleiches Verhältnis T2/T1 oder W2/W1erforderlich.
Bei entsprechender Berücksichtigung der Konstanten (Umrechnungsfaktoren) kann man das gleiche Ergebnis auch mit jeder anderen logarithmischen (gleichprozentigen) Funktion der gleichen Art erhalten. Für die graphische Darstellung genügt daher eine einzige Kurve, die man mit den unterschiedlichen Maßstäben versieht. Am anschaulichsten wird das, wenn man für T oder W eine logarithmische Teilung wählt. Die Funktion wird dann durch eine Gerade dargestellt, die durch zwei bekannte Punkte bestimmt ist.
Die mit dem obigen Modell erhaltenen Aussagen und Formeln dienen nur zum besseren Verständnis der Vorgänge. Da die Voraussetzungen in der Realität nicht gegeben sind, müssen Korrekturen aufgrund gemessener Werte (Tabellen) oder anhand einer Messung der Temperaturänderung in einer isolierten Umgebung entsprechend der geforderten Genauigkeit vorgenommen oder Modelle, die eine höhere Genauigkeit ergeben, verwendet werden.
Die gleichprozentigen Funktionen kommen in der Natur, in der Wirtschaft und sogar in ungestörten menschlichen Leben - mehr oder weniger genau - relativ häufig vor. Damit z. B. die gleiche (zeitlich leider degressiv verlaufende) Freude am Geldmachen immer wieder angefacht wird, muß die Steigerung des Einkommens (Erhöhung der Geschwindigkeit der Weitergabe des Geldes) de in der Zeit dt im angemessenen Verhältnis zum jeweils bereits erreichten Einkommen E stehen. Im gleichen Maße (auf eine Realwährung bezogen) werden dann z. B. auch mehr CO2 erzeugende Energieträger gekauft und genutzt. Durch die Verbrennung wird der von diesem Energieträger zusätzlich verursachte Entropiezuwachs SCO2z entsprechend vermehrt. Für das statistische Mittel kann man daher auch
dBSP/BSP = dCO2/CO2 = dSCO2z/SCO2z = dx/x = kn dt
annehmen.
Um die Opfer dieses Systems ruhig zu halten, war bislang - entsprechend den Forschungen von Konratief - jeweils nach drei Generationen eine Erneuerung erforderlich.
Modell:
Zwecks besseren Verständnisses der thermodynamischen Vorgänge und zum Integrieren mit mechanischen Geräten der vorelektronischen Zeit (benötigen nur gelegentlich einen Tropfen Öl) soll die Wärme Q als Fläche dargestellt werden. Die Ordinate sei die Temperatur T. Für die Abszisse benötigen wir eine Hilfsgröße, die wir Entropie S nennen. So wird dq = T ds oder
ds = dq/T. Graphisch dargestellt (T, s - Diagramm) sowie ergänzt um Linien gleichen Druckes p, gleichen Volumens v, gleichen Dampfgehaltes x und gleicher Enthalpie h lassen sich die Wirkungen von Zustandsänderungen und Prozessen sehr anschaulich verfolgen. Linien gleicher innerer Energie u werden in der Regel nicht eingetragen. Für Berechnungen, bei denen die Enthalpie (als Strecke abgreifbar) benötigt wird, hat sich das h, s - Diagramm bewährt.
In vielen Fällen lassen sich mit den einfacheren Formeln für ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärme hinreichend genaue Ergebnisse erzielen.
Beispiele:
h = u + p v dh = du + p dv + v dp
dq = du + p dv = dh - v dp = T ds = cv dT + p dv = cp dT - v dp
ds = cv (dT)/T + (p/T) dv = cp (dT)/T - (v/T) dp p v = R T
ds = cv (dT)/T + R (dv)/v = cp (dT)/T - R (dp)/p
s2 - s1 = cv ln (T2/T1) + R ln (v2/v1) = cp ln (T2/T1) - R ln (p2/p1)
Adiabate: dq = 0
Isentrope: ds = 0 ln (T2/T1)cv + ln (v2/v1)R = 0 ln (T2/T1)cp - ln (p2/p1)R = 0 cp - cv = R
T2/T1 = (v1/v2)R/cv T2/T1 = (p2/p1)R/cp cp/cv = k
T2/T1 = (v1/v2)k -1 T2/T1 = (p2/p1)(k - 1)/k
v2/v1 = (p1/p2)1/k
Ausgangsstoffe und Produkte chemischer Reaktionen eines geschlossenen Systems können im statistischen Gleichgewicht wie einzelne oder gemischte Stoffe im entsprechenden Zustand behandelt werden. Die Veränderungen wären dann als externe Energiebeiträge der jeweils anderen Stoffe anzusehen. Es wäre sicher sehr informativ, wenn für alle beteiligten Stoffe und Gemische ein gemeinsames T, s - oder h, s - Diagramm erstellt würde. Was könnte alles geschaffen werden, wenn durch die Abwehr der Folgen betrügerischer Machenschaften nicht soviel kostbare Zeit verloren ginge?
Höhenmessung:
Höhe 0 m, p0 = 10332 kg/m2, v0 = (1/1,266) m3/kg, T0 = 288 K, (ca. 15 °C)
Höhe 1000 m, p1/p0 = 0,887, v1/v0 = 1/0,907, T1 = 281,5 K
Höhe 5000 m, p5/p0 = 0,533, v5/v0 = 1/0,601, T5 = 255,5 K
Höhe 10000 m, p10/p0 = 0,261, v10/v0 = 1/0,337, T10 = 223 K
Trägt man die Daten für p und v in ein p, v - Diagramm jeweils im logarithmischen Maßstab für p und v ein (Rechenschieber haben eine logarithmische Teilung), so ergeben die Verbindungslinien exakte Geraden. Das Verhältnis ln p zu ln v ist im Höhenbereich von 0 bis 11000 m und darüber bis 35000 m jeweils konstant. Die Zustandsgrößen lassen sich also sehr genau durch Polytropen abbilden. Für die Exponenten der Polytropen gilt:
k = ln(p1 - p2)/ln(v2 - v1) k ln(v2 - v1) = ln(p1 - p2) = ln(v2 - v1)k
k = (ln(p1/p2))/ln(v2/v1)
(v2/v1)k = p1/p2
Bei k = 1 erhält man die Gleichung der Isotherme p2 v2 = p1 v1
In Bereichen mit Meßwerten, die im H, p - Diagramm bei logarithmischer Teilung für p mit ausreichender Genauigkeit durch eine Gerade abgedeckt werden, dH/d(lnp) = kHp, gilt
H2 - H1 = kHp ln(p1/p2) = ln(p1/p2)kHp.
Ab der Gleichgewichtsgrenze der Schwerkräfte zwischen der Erde und dem übrigen All beginnt ein Druckaufbau in Richtung Schwerpunkt der Erde. Ein Volumen mit der Fläche A und der Höhe dH mit n Molekülen vom Gewicht m bewirkt in Richtung steigender Höhe eine Druckänderung - dp = n m/A. Mit A (dH)/(n m) = v ergibt sich - v dp = dH = - R T dp/p und bei einer Isotherme
H2 - H1 = - p1 v1ln(p2/p1).
Wenn das Rechnen mit Logarithmen nicht mehr so geläufig ist, empfiehlt sich ein Beispiel von der beabsichtigten Operation mit Zehnerpotenzen. Als Exponenten für das Potenzieren sowie Radizieren wählt man ganze Zahlen, so daß die Vorgänge leicht zu verfolgen sind. Die Exponenten zur Basis 10 (log) sind ja die dekadischen Logarithmen. Die gleichen Regeln gelten für die natürlichen Logarithmen (ln), die Exponenten zur Basis e sind.
Mit freundlichem Gruß
Helmut Börjes
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