Thermodynamik Formel C2 ² / 2 = C1²/2-dp/rho

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

ich verstehe die Herleitung dieser Formel nicht ganz. Zwar weiss ich, dass sie aus dem 2. HS der Thermodynamik resultiert, jedoch ist mir nicht ganz klar, warum die Masse wegfällt.

Bis hierher bin ich gekommen:

P12 + Q12 = m(p2v2-p1v1 + (c2 ²-c1 ²)/2)

(dU = 0, da T1=T2, dz(höhendifferenz)=0, da z1=z2)

Ich gehe davon aus, dass rho in der fertigen Formel daraus resultiert, dass das Volumen v=m/rho ersetzt wird. Ausserdem ist mir bewusst, dass P12 + Q12 in diesem Fall = 0 sind.

Mein Problem ist, wenn ich in dies alles nun in die obige Formel einsetze, bleibt die Masse bei meiner Herleitung stehen.

Aufgabenstellung ist:

Der Düse einer Bewässerungsanlage wird Wasser bei einem Druck von 5 bar und einer Geschwindigkeit von 1 m/s zugeführt. Am Austritt herrscht der Umgebungsdruck von 1 bar. Die Düse arbeite adiabat und dissipationsfrei, der Höhenunterschied zwischen Ein- und Austritt kann vernachlässigt werden.

rho=1000kg/m3, g=9,81m/s ²

a) Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers ?

#2

Kann dir leider nicht helfen, sorry.

#3

P12 + Q12 = m(p2v2-p1v1 + (c2 ²-c1 ²)/2)

Achtung: in dieser Formel sind Q und m zeitbezogen, es gehört ein Punkt darüber

Ich gehe davon aus, dass rho in der fertigen Formel daraus
resultiert, dass das Volumen v=m/rho ersetzt wird.

Du verwechselst V mit v !
v = 1/rho !

#4

Hallo,

irgendwo ist ihnen da ein Fehler unterlaufen. Betrachten wir nur die Einheiten: m*p*v => p*v = Nm = J und J*kg ist vieles… aber nicht Watt. Es würde zwar reichen, wenn sie einfach durch m teilen, denn 0 durch X ist nach wie vor 0, aber ich will etwas weiter ausholen, da sich einige Fehler eingeschlichen haben.

Ausgehend vom 1. HS der Thermodynamik für offene Systeme:

Q_12 + P_12 = mPunkt ((h_2 - h_1) + 1/2(c_2^2-c_1^2) + g(z_2-z1)

Wobei hier m nicht die Masse, sondern der Massenstrom ist.

Teilen wir die linke Seite durch den Massenstrom erhalten wir die spezifischen Größen q12 und w_t12

Mit der Definition der Enthalpie H = U + pV wird die spezifische Enthalpie ersetzt:

h = u + pv

Wenn Q12 und P12 gleich 0 sind, ist natürlich die linke Seite 0. u ist ebenfalls null und damit haben wir:

0 + 0 = ((p_2v_2-p_1v_1) + 1/2 (c_2^2-c_1^2) + g(z_2-z_1)

v = V/m = 1/rho

0 + 0 = 1/rho (p_2-p_1) + 1/2(c_2^2-c_1^2) + g(z_2-z_1)

Und damit sind wir auch schon fertig. Umgestellt und mit rho multipliziert ergibt das die altbekannte Bernoulli-Gleichung.

Viele Grüße
Patrick

#5

Hi,
ich die beschriebene Gleichung (C2²/2 = C1…) sagt mir so erstmal nichts, sieht aber so aus als wäre sie aus dem Bernoulli abgeleitet.
Der Bernoulli ist auch der Rechenansatz für deine Aufgabe.

Aufgabenstellung ist:

Der Düse einer Bewässerungsanlage wird Wasser bei einem Druck
von 5 bar und einer Geschwindigkeit von 1 m/s zugeführt. Am
Austritt herrscht der Umgebungsdruck von 1 bar. Die Düse
arbeite adiabat und dissipationsfrei, der Höhenunterschied
zwischen Ein- und Austritt kann vernachlässigt werden.

rho=1000kg/m3, g=9,81m/s ²

a) Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers ?

Bernoulli:
p1/rho1 + c1²/2 + g * z1 = p2/rho2 + c2²/2 + g * z2

Diese Gleichung umstellen und voilà, die Lösung ist da =)

LG,
Olli87

#6

Sehr aufschlussreich.

Der Knackpunkt war, dass wenn v=V/m ist, v=1/rho sein muss. Das war mir nicht vorher noch nicht klar gewesen.

Damit ist alles geklärt, vielen Dank

#7

Danke,
diese Formel kannte ich bisher noch nicht.

#8

Genau das war es, jetzt passt es zusammen. Danke

Hi,
ich die beschriebene Gleichung (C2²/2 = C1…) sagt mir so
erstmal nichts, sieht aber so aus als wäre sie aus dem
Bernoulli abgeleitet.
Der Bernoulli ist auch der Rechenansatz für deine Aufgabe.

Aufgabenstellung ist:

Der Düse einer Bewässerungsanlage wird Wasser bei einem Druck
von 5 bar und einer Geschwindigkeit von 1 m/s zugeführt. Am
Austritt herrscht der Umgebungsdruck von 1 bar. Die Düse
arbeite adiabat und dissipationsfrei, der Höhenunterschied
zwischen Ein- und Austritt kann vernachlässigt werden.

rho=1000kg/m3, g=9,81m/s ²

a) Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers ?

Bernoulli:
p1/rho1 + c1²/2 + g * z1 = p2/rho2 + c2²/2 + g * z2

Diese Gleichung umstellen und voilà, die Lösung ist da =)

LG,
Olli87

#9

Hallo,
zur Berechnung der Austrittsgeschwindigkeit würde ich die Bernoulligleichung nehmen, die dem 1. HS der Thermodynamik, bzw. dem Energieerhaltungssatz entspricht.
p0+rho*g*ho+rho/2 *v0²=p1+rho*g*h1+rho/2 v1²
h1=h2 damit entfällt die Änderung der potenziellen Energie. Damit ergibt sich v2=Wurzel(2/rho*dp)
mit 1bar=10^5N/m² und 1N entspr. 1kgm/s² kommt man auf die gesuchte Geschwindigkeit in m/s.
Gruß
Udo

#10

Hallo alex,

was das mit Thermodynamik zu tun hat, erschließt sich mir nicht so recht. Hydrodynamik hätte ich da schon eher zuordnen können. Aber für dieses Problem gilt das Stichwort „Ausfluss aus Gefäßen“. Bei Wikipedia unter Fließformel und dabei weiter unten unter Weitere Fließgesetze und dann den Wert für alpha =1 setzen oder alpha einfach weglassen. Dabei ist h die Höhe der Wassersäule in m über der Austrittsöffnung und g ist die Erdbeschleunigung. Also erst bar umrechnen in mWS. Zur Beachtung: 1 bar ist 10^5 N/m². (10^5 ist 10 hoch 5, also 100000).
Die 500 Pa, die der Herr Bernoulli noch vom statischen Druck abzieht, rauche ich hier mal in der Pfeife, denn ich kann mir nicht vorstellen, dass eine Genauigkeit von 0,1% gefordert wird.

Gruß
Pat

#11

Stellen Sie sich vor, Sie hätten mehrere Portionen Wasser auf eine Höhe transportiert, die der kinetischen Energie des Wassers am Austritt aus der Düse entspricht. Wenn Sie nun eine Portion herunter fallen lassen, erreicht diese eine Geschwindigkeit, die allein von der an diesem Ort herschenden Erdbeschleunigung bestimmt wird (Luftwiderstand, Drehbewegung etc. vernachlässigt). Das aus der Düse austretende Wasser unterliegt den gleichen Gesetzen. Es erreicht die gleiche Höhe und beim anschließenden Herunterfallen auch die gleiche Geschwindigkeit. Die Anzahl der herunterfallenden Portionen ändert daran nichts. Die Masse hat also gar keinen Einfluß auf diesen Vorgang.