Thermodynamik: Leistungsabfuhr

[Der_Frank_176821]

Guten Morgen,

es sei ein Klotz Luft der Kantenlaenge a, b, c und demzufolge Volumen V und Masse m, in den fuer eine gewisse Zeit t mit einer Leistung P die Energie Q=P*t eingetragen wird. Es ist nicht besonders aufregend, die Temperatur T_{i}(t) auszurechnen, die der Klotz nach t haben wird, wenn keine Energie aus ihm rausgeht (\Delta T=Q/m/c), allerdings kommen da nach Parameterbestueckung voellig unrealistische Zahlen raus (ueber 1000 K).

Der Klotz sei von Blech umgeben, hinter dem Blech ist unendlich viel Luft mit zunaechst konstant angenommener Umgebungstemperatur T_{u}, spaeter mit T_{u}(t). Quizfrage: welche Temperatur wird sich bei konstanter Umgebungstemperatur fuer den Gleichgewichtszustand innerhalb des Klotz’ einstellen und (Zustatzfrage) wie wird T_{i}(t) fuer die veraenderliche Aussentemperatur sein?

Danke,
Gruss vom Frank.

[Tom_6036d9]

bist du dir sicher, daß du die AUfgabe richtig verstanden hast? meiner meinung nach müsste bei beiden Teilaufgaben jeweils nach der Innentemperatur gefragt werden und nicht nach der Außentemperatur.

1. Teilaufgabe: adiabates system,
2. Teilaufgabe: instationäres, nichtadiabates system

Denn um die „Umgebungstemperatur“ auszurechnen fehlen hier viel zu viele Angaben. Darf Konvektion vorkommen?, Wärmestrahlung möglich?, Entfernung vom Metallblock?, Wärmeübrgangskoeffizienten? etc…

wäre nach der Innentempreratur gefragt im 2. Fall hättest du eine simple Differentialgleichung zu lösen.

1.HS: dW/dt=P+dQ/dt

mit dQ/dt=(a1+lambda/t*6*a^2+a2)*(T_i(t)-T_u)

dabei ist (a1+lamba/t*6*a^2+a2)=k der Wärmedurchgangskoeffizient (mit der Vorraussützung dünner Wände), t=wandicke, a=Würfelkantenlänge, a1,a2 Wärmeübergangskoeffizienten innen/aussen). Außerdem:

dW/dt=C*dT_i/dt

bleibt uns also:

dT_i/dt+k/C*T_i=P/C+k/C*T_u=const.=K

das ist eine einfache lineare inhomogene DGL mit konst. koeffizienten 1. Grades.

die allgemeine Lösung ergibt sich zu (über charact. polynom etc):

T_i=C₁*e^-k*t/C+P/k+T_u

mit C₁ als Integrationskonstanten

noch irgendwelche Fragen ?

> [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Tom_6036d9]

bist du dir sicher, daß du die AUfgabe richtig verstanden
hast? meiner meinung nach müsste bei beiden Teilaufgaben
jeweils nach der Innentemperatur gefragt werden und nicht nach
der Außentemperatur.

(…)

wäre nach der Innentempreratur gefragt im 2. Fall hättest du
eine simple Differentialgleichung zu lösen.

oops ^^ ich sehe gerade: es WAR nach der Innentemperatur gefragt. Ergo: meine Lösung ist definitv die richtige

Denn um die „Umgebungstemperatur“ auszurechnen fehlen hier
viel zu viele Angaben. Darf Konvektion vorkommen?,
Wärmestrahlung möglich?, Entfernung vom Metallblock?,
Wärmeübrgangskoeffizienten? etc…

trotzdem gilt das immer noch… für die Zusatzaufgabe muss man jedemenge zustzlich Annahmen treffen und näherungsweise gilt die 1. Lösung auch für die zusatzaufgabe

[Der_Frank_176821]

bist du dir sicher, daß du die AUfgabe richtig verstanden
hast?

Da die Aufgabe sozusagen dem Leben entsprungen ist und ich mir nicht anmassen moechte, das Leben verstanden zu haben… nein.

meiner meinung nach müsste bei beiden Teilaufgaben jeweils
nach der Innentemperatur gefragt werden und nicht nach
der Außentemperatur.

Wie Du schon so richtig festgestellt hast: das ist die Frage.

wäre nach der Innentempreratur gefragt im 2. Fall hättest du
eine simple Differentialgleichung zu lösen.

1.HS: dW/dt=P+dQ/dt

Ah, klar! Leistungsbilanz.

mit
dQ/dt=(a1+lambda/t*6*a^2+a2)*(T_i(t)-T_u)

dabei ist (a1+lamba/t*6*a^2+a2)=k der
Wärmedurchgangskoeffizient (mit der Vorraussützung dünner
Wände), t=wandicke, a=Würfelkantenlänge,

Was, wenn es sich nicht um einen Wuerfel, sondern um einen Quarder handelt? Wie kann ich hier beruecksichtigen, dass der Quarder auf der Erde steht und Waermeabgabe nach unten ausgeschlossen bzw. gesondert eingerechnet wird? Gehe ich recht in der Annahme, dass ich hier einfach T_u(t) verwenden kann?

a1,a2 Wärmeübergangskoeffizienten innen/aussen).

Wo kriege ich die her? Was ist \lambda?

Außerdem:

dW/dt=C*dT_i/dt

Ist C die spezifische Waermekapazitaet? Oder was?

bleibt uns also:

dT_i/dt+k/C*T_i=P/C+k/C*T_u=const.=K

das ist eine einfache lineare inhomogene DGL mit konst.
koeffizienten 1. Grades.

Die mit T_u(t) evtl. nicht mehr linear waere und ggf. numerisch geloest werden muesste.

noch irgendwelche Fragen ?

Jo! Siehe oben.

Danke bis hierhin,
Gruss vom Frank.

[Tom_6036d9]

hallo Frank

bist du dir sicher, daß du die AUfgabe richtig verstanden
hast?

sorry war etwas dumm gestellt die Frage …

Ah, klar! Leistungsbilanz.

yau

Was, wenn es sich nicht um einen Wuerfel, sondern um einen
Quarder handelt? Wie kann ich hier beruecksichtigen, dass der
Quarder auf der Erde steht und Waermeabgabe nach unten
ausgeschlossen bzw. gesondert eingerechnet wird? Gehe ich
recht in der Annahme, dass ich hier einfach T_u(t)
verwenden kann?

also ich bin davon ausgagenagen, daß der Würfel sehr dünne Wände hat, und es deswegen auch nur auf die Oberfläche ankommt. deswegen 6*a^2.
Wenn der Würfel mit einer Seite auf einem Wärmeisolierenden Boden stehen würde wärens nur noch 5*a^2. Und für ein Quader sowas wie 2*(a*b+a*c+c*b). Für Körper jeder anderen Form kannst du dir die Formeln für dQ/dt ausTabellen heraussuchen. Oder dir es selsbt ausrechnen über weitere Differentialgleichungen.

a1,a2 Wärmeübergangskoeffizienten innen/aussen).

Wo kriege ich die her? Was ist \lambda?

widerum Tabellen. lambda ist die materialspezifische Wärmeleitfähigkeit

Außerdem:

dW/dt=C*dT_i/dt

Ist C die spezifische Waermekapazitaet? Oder was?

Yau… fast. Es ist aber nicht die spezifische, sondern die „normale“ Wärmekapazität des Körpers. Berechnbar über spezifische Wärmekapazitäten des Materials etc…

bleibt uns also:

dT_i/dt+k/C*T_i=P/C+k/C*T_u=const.=K

das ist eine einfache lineare inhomogene DGL mit konst.
koeffizienten 1. Grades.

Die mit T_u(t) evtl. nicht mehr linear waere und
ggf. numerisch geloest werden muesste.

falsch: sie wäre immer noch eine lineare DGL (auf die Lösung bezogen). das liegt daran, daß sie nur von 1. Ordnung ist. Solange T_u(t) nur von t abhängt und eine Integrierbare Funktion darstellt, wirst du eine analytische Lösung bekommen. Falls du nähers wissen willst, such nach DGL’s der Form: x’(t)+a(t)*x+b(t)=0.

noch irgendwelche Fragen ?

Jo! Siehe oben.

hab keine Hemmungen noch mehr Fragen zu stellen . Ich hör nich auf, bis du sagst, du hast alles verstanden… (gut hängt davon ab, auf welchem niveau du dich gerade befindest, ich werd dir sicherlich nich nochmal 1+1=2 beibringen hehe)

grüße, Tom.

[Der_Frank_176821]

also ich bin davon ausgagenagen, daß der Würfel sehr dünne
Wände hat,

Die Annahme ist sicherlich nicht verkehrt: der Klotz ist etwa in der Groessendordnung 10m (ja, Konvektion erdreiste ich mir dennoch wegzulassen und akzeptiere den entstehenden Fehler), die Wand vielleicht unter 1cm. Im Verhaeltnis ist das duenn.

und es deswegen auch nur auf die Oberfläche
ankommt. deswegen 6*a^2.

Ach, also ist der Term allgemein die Oberflaeche. Hm, haette ich vielleicht sehen koennen.

a1,a2 Wärmeübergangskoeffizienten innen/aussen).

Wo kriege ich die her? Was ist \lambda?

widerum Tabellen. lambda ist die materialspezifische
Wärmeleitfähigkeit

Ah. \lambda hab ich gefunden. Aber die beiden Waermeuebergangskoeffizienten… da schweigt sich mein Tabellenbuch irgendwie aus. (Das liegt vielleicht daran, dass es fuer Elektrotechnik ist.) Was waere wohl eine gute Schaetzung fuer den Uebergang von Luft zu Blech und wieder zu Luft?

Die mit T_u(t) evtl. nicht mehr linear waere und
ggf. numerisch geloest werden muesste.

falsch: sie wäre immer noch eine lineare DGL (auf die Lösung
bezogen).

Jaja, Details.

Falls du nähers wissen willst, such nach
DGL’s der Form: x’(t)+a(t)*x+b(t)=0.

Ach, zum „von-Hand-integrieren“ bin ich ueber die Jahre eh zu faul geworden.

ich werd dir sicherlich nich nochmal 1+1=2 beibringen hehe)

Hey, warte, ganz langsam… was bedeutet das kleine Kreuzchen zwischen den zwei gleichen Symbolen?

Gruss vom Frank.

[Uwi]

Hallo,

ich bin zwar kein Physiker, aber ich hätte da einige Hinweise
und Denkansätze (Hätte gedacht, daß einige Physiker mal zu
Wort melden).

es sei ein Klotz Luft der Kantenlaenge a, b, c und demzufolge
Volumen V und Masse m, in den fuer eine gewisse Zeit t mit
einer Leistung P die Energie Q=P*t eingetragen wird. Es ist
nicht besonders aufregend, die Temperatur T_{i}(t)
auszurechnen, die der Klotz nach t haben wird, wenn keine
Energie aus ihm rausgeht (\Delta T=Q/m/c), allerdings kommen
da nach Parameterbestueckung voellig unrealistische Zahlen
raus (ueber 1000 K).

1. Der Energieeintrag in ein abgeschlossenes Volumen führt ja
   nicht nur zu Temperaturerhöhung sondern auch zur Druckerhöhung.
   Damit ist IMHO die resultierende Temp. nicht so einfach zu
   berechnen wie bei isobarer Rechnung?.

Der Klotz sei von Blech umgeben, hinter dem Blech ist
unendlich viel Luft mit zunaechst konstant angenommener
Umgebungstemperatur T_{u}, spaeter mit T_{u}(t).
Quizfrage:
welche Temperatur wird sich bei konstanter Umgebungstemperatur
fuer den Gleichgewichtszustand innerhalb des Klotz’ einstellen
und (Zustatzfrage) wie wird T_{i}(t) fuer die veraenderliche
Aussentemperatur sein?

2. Noch was zum Problem Konvektion, das war ja wohl noch offen:

Für den spez. Wäremübergang Luft-Festkörperoberfläche bei
normalen Umgebungsbed. gibt’s eine Faustformel:

Ps = (5,6 + 4v) W / (1m² * 1grd) mit vin m/s imm Bereich bis ca.5m/s

Das gilt natürlich erstmal für die Außerfläche, weil im Innern
ja der Druck deutlich über Normaldruck liegen sollte.
Wenn man aber annimmt, daß bei hohem Druck und entsprechender
hoher Dichte der Wärmeübergang deutlich besser wird, dann
kann man davon ausgehen, daß der Wärmeübergang an der Außenfläche
relevant sein wird.

3. Wenn die Oberfläche des Behälters ordentlich heiß wird,
   macht der Strahlungsverlust eh viel mehr aus.
   -> siehe Plancksches Strahlungsgesetz und Stefan-Boltzmann-Gesetz

Im allg. verstehe ich allerdings Deine Aufgabenstellung nicht ganz.

Gruß Uwi