Topolgie

[Oliver_a32c43]

Hallo,

besitzt ein Raum eigentlich schon dadurch eine Topolgie, wenn ich definiere, wann eine Folge des Raums konvergiert?

Gruß
Oliver

[Christian_von_T_rne_a0c18a]

Hallo Oliver,

ich bin nicht so der Topologe, aber ich fürchte, das reicht nicht. Für eine Topologie mußt du ein System _offener_ Mengen angeben, wenn ich mich recht entsinne.

Chris

[Enno_Sandner_66c4aa]

Hallo,
wie definierst Du das ? Über eine Metrik ? Dann würde die Antwort ja lauten.

Gruss
Enno

[Stefan_Neumeier_a340d1]

Hallo Oliver,

besitzt ein Raum eigentlich schon dadurch eine Topolgie, wenn
ich definiere, wann eine Folge des Raums konvergiert?

Sei M der Grundraum.

Jeder Folge von Elementen von M drückst Du nach Belieben
das Etikett „konvergent“ (oder auch nicht) auf und gibst ggf. die(!?) Grenzelemente an.

Wie würdest Du dann eine abgeschlossene/offene Menge definieren?

Eine Menge N heiße abgeschlossen, wenn jede Folge, die ganz in N liegt, in N konvergiert?

Konvergenz wird standardmäßig mit offenen Mengen definiert; hier müßte man die Offenheit rückwärts aus gottgegebener Konvergenz definieren.

Gruß
Stefan

[Oliver_a32c43]

konkreter
Hallo,

Vielleicht sollte ich etwas konkreter werden: Es geht um die Topologie auf dem Raum der Testfunktionen über R: D®

In dem Skript, das ich habe, wird zunächst eine Metrik bzw. Topologie auf dem Unterraum D_K® eingeführt. Das ist die Menge der Testfunktionen deren Träger innerhalb eines Kompaktums K liegen.

Dann wird die Konvergenz auf D® folgendermaßen definiert: Eine Folge von Testfunktionen f_i konvergiert gegen f in D®, wenn gilt:

1. Es ex. ein K mit Träger(f_i) c K für alle i und Träger(f) c K

2. Die Folge f_i konvergiert gegen f in D_K®

Ok, und jetzt meine Frage: Ist damit auch D® vollständig mit einer Topolgie versehen?

Gruß
Oliver

[Stefan_Neumeier_a340d1]

Hallo Oliver,

Vielleicht sollte ich etwas konkreter werden: Es geht um die
Topologie auf dem Raum der Testfunktionen über R: D®

haben *alle* diese Testfunktionen einen kompakten Träger?

Das hieße, D® ist die Vereinigung aller D_K®, „summiert“ über K.

Dann hätte man eine Topologie für D®, wenn eine Menge aus D® zunächst einmal ganz in irgendeinem D_K® liegen müßte, um vielleicht offen zu sein (dann nach Maßgabe der Topologie
in diesem D_K® ).

Jedenfalls müßte jede Topolopie, die man auf D® definieren könnte, immer schon die offenen Mengen aus allen D_K® selbst als offene Mengen haben (also „feiner“ zu sein).

Dann wird die Konvergenz auf D® folgendermaßen definiert:

Wird das echt als Definition angegeben? Ohne vorher eine Topologie auf D® anzugeben und diese Konvergenz-Aussage als Satz zu präsentieren?
Hm.

Eine Folge von Testfunktionen f_i konvergiert gegen
f in D®, wenn gilt:

1. Es ex. ein K mit Träger(f_i) c K für alle i und
   Träger(f) c K

2. Die Folge f_i konvergiert gegen f in
   D_K®

Ok, und jetzt meine Frage: Ist damit auch D® vollständig mit
einer Topolgie versehen?

Ich sage: Nein.

Gruß
Stefan

[Oliver_a32c43]

Hallo Stefan,

haben *alle* diese Testfunktionen einen
kompakten Träger?

Ja, das ist gerade die Definition einer Testfunktion.

Wird das echt als Definition angegeben?

Ja. Warum auch nicht?

Ohne vorher eine
Topologie auf D® anzugeben und diese Konvergenz-Aussage als
Satz zu präsentieren?
Hm.

Ja, wie gesagt wird, durch diese Definition offenbar eine Topologie auf D® erst erklärt.

Gruß
Oliver