Topologie

Wissenschaft Physik
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hallo koleginnen und kollegen,

ich suche einen metrischen raum der aa1 erfüllt aber nicht aa2

danke martin

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Hallo

ich suche einen metrischen raum der aa1 erfüllt aber nicht aa2

Folgendes Beispiel sollte es tun:
X: überabzählbare Menge (z.B. R)
Metrik gegeben durch d(x,y) = 0, falls x=y, d(x,y)=1 falls xy

Es ist einfach nachzurechnen:

  1. Durch diese Definition wird eine Metrik definiert.
  2. In dieser Metrik sind alle einpunktigen Mengen offen.
  3. Erfüllt aa1 (1. Abzählbarkeitsaxiom), da dies in allen metrischen Räumen erfüllt ist.
  4. Erfüllt aa2 nicht, denn in der Basis der Topologie müssen mindestens alle einpunktigen Mengen enthalten sein. Und damit ist jede Basis der Topologie überabzählbar.

Gruss Urs