Topologisches Problem

Wissenschaft Physik
1

Hi,

Ich hab ein Problem mit der Aufgabe 2.3 i)dieses Übungsblattes hier http://www.mathematik.uni-kl.de/~grothaus/blatt2_ana…. Hoffentlich könnt ihr mir helfen, weil ich hab echt keine Ahnung mehr was ich tun soll. Und zwar liegt meine Problem bei der Aufgabe darin, dass ich nicht weiss ob die Menge X endlich oder undendlich ist. Wenn X unendlich ist, müssen die Komplemente unendlich sein und ich glaube es exisieren auch konvergente Folgen (beschreiben konnte ich sie bisher aber noch nicht). Mein Problem taucht dann auf, wenn X ENDLICH ist (was ja explizit nicht ausgeschlossen wird) Denn dann wären die Komplemente von endliche Teilmengen wieder endliche Teilmengen und dann gibt es keine konvergenten Folgen mehr, denn laut Definition von konvergenten Folgen in topologischen Räumen müssen in jeder offenen Umgebung des Konvergenzwertes alle bis auf endliche viele (=unendliche viele!) Elemente der Folge sein. Dies kann aber nicht sein, weil alle offenen Umgebungen in diesem Fall endlich sind, weil sie Elemente aus der Topologie sind. Das erscheint mir dann doch etwas komisch, könnt ihr mir weiterhelfen?

Gruss,

Timo

2

Hallo

Die Lösung Deines Problems besteht darin, dass Du die Aussage:
„laut Definition von konvergenten Folgen in topologischen
Räumen müssen in jeder offenen Umgebung des Konvergenzwertes
alle bis auf endliche viele (=unendliche viele!) Elemente der
Folge sein.“
richtig verstehen musst. Du scheinst ein Durcheinander zwischen der Anzahl der Folgenglieder, die in einer Umgebung sind und die Anzahl der Menge, die aus diesen Folgengliedern besteht, zu verwechseln. In dieser Definition muss die Menge {n:xn in der Umgebung U} alle bis auf endlich viele natürliche Zahlen enthalten. Du argumentierst aber, dass bis auf endliche viele Elemente der Menge {xn:n natürliche Zahl} in der Umgebung U sein sollen.
Nimm einmal eine konstante Folge und mach Dir an diesem Beispiel den Unterschied klar.
Eine kleine Zusatzbemerkung: bis auf endlich viele und unendlich viele ist nicht genau das selbe. So enhält die Menge der geraden natürlichen Zahlen unendlich viel natürliche Zahlen, aber auch das Komplement ist unendlich.

Gruss Urs

3

okay, danke. ich konnte die Aufgabe jetzt lösen