Totale Ableitung der Energie/Differenzialrechnung

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
soweit ich weiß, gilt für die totale Ableitung der Energie nach der Zeit (im dreidimensionalen Raum):
dE/dt = qE/qt + qE/qx*dx/dt + qE/qy*dy/dt + qE/qz*dz/dt
q soll hier für das partielle Differenzial stehen!
Richtig soweit?

In einem meiner Bücher steht die Formel:
dE/dt = qE/qt + q(vx*E)/qx + q(vy*E)/qy + q(E*vz)/qz

Wie komme ich denn von der obigen Gleichung auf die Formel, die in meinem Buch steht? Vor allem wundert mich, dass die Geschwindigkeit jeweils in der partiellen Ableitung steht.

Vielen Dank für eure Hilfe!

P.S. Wenn ich wüsste wie man hier ein Bild hochlädt, könnte ich die Gleichungen in schönerer Form hochladen :wink:

#2

Hossa :smile:

soweit ich weiß, gilt für die totale Ableitung der Energie
nach der Zeit (im dreidimensionalen Raum):
dE/dt = qE/qt + qE/qx*dx/dt + qE/qy*dy/dt + qE/qz*dz/dt
q soll hier für das partielle Differenzial stehen!
Richtig soweit?

Die Energie E hängt vom Ort, also von x, y und z, sowie der Zeit t ab:

E=E(x,y,z,t)

Die totale Ableitung dieser Funktion lautet:

\frac{dE}{dt}=\frac{\partial E}{\partial x},\frac{dx}{dt}+\frac{\partial E}{\partial y},\frac{dy}{dt}+\frac{\partial E}{\partial z},\frac{dz}{dt}+\frac{\partial E}{\partial t}

Also genau das, was du geschrieben hast.

In einem meiner Bücher steht die Formel:
dE/dt = qE/qt + q(vx*E)/qx + q(vy*E)/qy + q(E*vz)/qz

Die Ableitungen der Orte nach der Zeit sind gleich der Geschwindigkeit:

\frac{dE}{dt}=\frac{\partial E}{\partial x},v_x+\frac{\partial E}{\partial y},v_y+\frac{\partial E}{\partial z},v_z+\frac{\partial E}{\partial t}

Und die v kannst du noch mit in das Differential packen.

Viele Grüße

Hasenfuß

#3

Hallo

Hallo !

soweit ich weiß, gilt für die totale Ableitung der Energie
nach der Zeit (im dreidimensionalen Raum):
dE/dt = qE/qt + qE/qx*dx/dt + qE/qy*dy/dt + qE/qz*dz/dt

Meinst du das hier ?

\frac{dE}{dt}=\frac{\partial E}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial E}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial E}{\partial z}\frac{dz}{dt}

Das ist ja zunächst mal nichts anderes als die Kettenregel.

In einem meiner Bücher steht die Formel:
dE/dt = qE/qt + q(vx*E)/qx + q(vy*E)/qy + q(E*vz)/qz

Steht da wirklich

\frac{dE}{dt}=\frac{\partial (v_xE)}{\partial x}+\frac{\partial (v_yE)}{\partial y}+\frac{\partial (v_zE)}{\partial z}

oder

\frac{dE}{dt}=\frac{\partial E}{\partial x}v_x+\frac{\partial E}{\partial y}v_y+\frac{\partial E}{\partial z}v_z

Das zweite würde mehr Sinn machen, wenn man bedenkt, dass gilt

v_x=\frac{dx}{dt}

P.S. Wenn ich wüsste wie man hier ein Bild hochlädt, könnte
ich die Gleichungen in schönerer Form hochladen :wink:

Oder wie wärs mit LaTeX ? Das ist doch perfekt für sowas.

Gruß

hendrik

#4

Hallo! Bitte mal erklären, was für eine physikalische Größe das „E“ in diesem Zusammenhang sein soll? Eine Energiedichte? Wenn ja: wovon? mfG

#5

Danke für eure Antworten!
E ist die totale Energie.
@hendrik
Ja, das v steht leider in dem Differential.

@Hasenfuß
Moment mal: Wieso kann ich v in das Differential reinpacken??
Also soweit ich weiß, gilt für:
q(vx*E)/qx = qvx/qx *E + qE/qx *vx (Produktregel)
und nicht:
q(vx*E)/qx = qE/qx *vx
Oder?

Benötige weitere Hilfe :wink:

P.S Hab leider kein Latex

#6

Hallo,

wenn die Geschwindigkeit konstant ist, darfst Du sie aus dem Differential herausziehen. Das geht zwar aus Deiner Fragestellung nicht hervor, allerdings legt die Lösung diese Vermutung nahe. Sind da weitere Informationen vorhanden?

LaTeX muss auch nicht bei Dir installiert sein. Bei diesen Foren ist Software vorhanden, die die LaTeX-Befehle automatisch umwandeln. Das Forum hat sozusagen LaTeX installiert.

Viele Grüsse
d.

#7

Danke, daran wird es wahrscheinlich liegen!
Kurz zum Hintergrund: Es geht um numerische Strömungsberechnung mit Wärmeübertragung. Meine Frage bezog sich auf die Energieerhaltungsgleichung. Dabei ging es darum, die Terme des 1. Hauptsatz der Thermodynamik dE/dt = W’+Q’ (W’ Leistung am Volumenelement, Q’ Wärmestrom) auszuformulieren. Dabei betrachtet man ein sehr kleines Volumenelement einer Strömung.
In einem anderen Buch steht zur Massenerhaltung, dass für ein Volumenelement qvx/qx=0 ist (das Gleiche auch für vy, und vz). Diese Gleichungen kann ich dann wohl auch bei der Energieerhaltungsgleichung verwenden.
Also ich glaube, das Problem ist gelöst. Es sei denn, jemand hat noch irgendwelche Einwände.
Dankeschön!