Hi,
ich versuche gerade folgende Aussage zu beweisen und komme irgendwie nicht weiter.
Aussage: Sei A Untermenge eines metrischen Raumes (X,d). Dann gilt:
A ist vollständig und A ist total beschränkt (in der Literatur nennt man das manchmal auch präkompakt) => A ist kompakt.
Mein Beweisversuch (Beweis durch Widerspruch):
Annahme: A ist nicht kompakt, d.h. es existiert eine Indexmenge I mit
A Ui€IUepsilon(i)(xi) so, dass keine endliche Menge E Ui€EUepsilon(i)(xi)
Sei nun epsilon:= inf{epsilon(i) ; i € I}. Dann existiert eine endliche Menge E’ mit A Uj€E’Uepsilon(xj). Aus der Definition von epsilon folgt aber, dass
|{xj; j€E’}|>|{xi;i€I}|( weil ja "epsilon sozusagen, dass kleinste epsilon(i) ist) also müsste I endlich sein, weil E’ es ist. Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme.
In dem ganzen Beweis habe ich aber leider nicht die Vollständigkeit von A verwendet, also denke ich, dass der Beweis fehlerhaft ist. Kann mir jemand sagen wo mein Denkfehler liegt?
Gruss,
Timo
Hi,
ich versuche gerade folgende Aussage zu beweisen und komme
irgendwie nicht weiter.
Aussage: Sei A Untermenge eines metrischen Raumes (X,d). Dann
gilt:
A ist vollständig und A ist total beschränkt (in der Literatur
nennt man das manchmal auch präkompakt) => A ist kompakt.
Mein Beweisversuch (Beweis durch Widerspruch):
Annahme: A ist nicht kompakt, d.h. es existiert eine
Indexmenge I mit
A Ui€IUepsilon(i)(xi)
so, dass keine endliche Menge E Ui€EUepsilon(i)(xi)
Sei nun epsilon:= inf{epsilon(i) ; i € I}.
Woher weisst du, dass i€I eine Zahl ist - sagen wir I=A und i=x€A du kannst auf i eine wohlordnung erfinden nach dem auswahlaxiom oder I könnte auch eine Umgebungsbasis sein halt eine beliebige Indexmenge - meines erachtens kannst du davon nicht das minimum bilden bzw mit epsilon vergleichen.
ich würde das eher mit kompakt jede folge hat einen häufungswert - und indirekt angenommen es existiert keiner angehen.
mit dem epsilon-mesh/epsilon netz zeigst du dass der Häufungswert wenn er existiert in A liegen muss und da A vollständig ist -> der Häufungswert existiert. du kannst leider nicht annehmen dass der Häufungswert existiert denn wenn er ausserhalb von A läge brauchst du X vollständig zusätzlich.
ciao martin
Okay, stimmt. Daran hab ich nicht gedacht. Dann werde ich es mal mit de Idee von dem Häufungspunkt versuchen.
Thx 4 Help,
Timo