Bestimmen Sie das totale Differential und das zweite
Differential der folgenden Funktionen:
a) f(x1 , x2) = x1^1/4 + x2^3/4 (Also gesprochen: X1 hoch
ein-viertel plus x2 hoch drei-viertel).
Hallo,
ich nehme mal ein anderes Beispiel.
f(x_1,x_2)=x_1^2+5x_2^4
Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, dann kannst du unter Umständen nach jeder von diesen Variablen ableiten, das sind die sogenannten partiellen Ableitungen. In diesem Fall
\frac{\partial}{\partial x_1}f(x_1,x_2)=2x_1
\frac{\partial}{\partial x_2}f(x_1,x_2)=20x_2^3
Das Symbol ∂ gibt an, dass es sich um eine partielle Ableitung (auch Richtungsableitung genannt) handelt, und ∂xi gibt an in welche Richtung du ableitest, in diesem Fall also in x1- und x2-Richtung.
Das totale Differential ist jetzt
df=\sum\limits_i \frac{\partial}{\partial x_i}f(x)dx_i
also
df=\frac{\partial}{\partial x_1}f(x_1,x_2)dx_1+\frac{\partial}{\partial x_2}f(x_1,x_2)dx_2=2x_1dx_1+20x_2^3dx_2
Beim zweiten Differential bin ich mir nicht sicher, aber ich denke es ist dementsprechend
df^2=2dx_1^2+60x_2^2dx_2^2
Noch ein Beispiel mit gesmischten Ableitungen:
f(x_1,x_2)=x_1^2x_2^3
df=2x_1x_2^3dx_1+3x_1^2x_2^2dx_2
df^2=2x_2^3dx_1^2+6x_1x_2^2dx_1dx_2+6x_1x_2^2dx_1dx_2+6x_1^2x_2dx_2^2
Dass bei den beiden gemischten Ableitungen beides mal das gleiche rauskommt ist übrigens kein Zufall, sondern wird durch den Satz von Schwarz erklärt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Schwarz
Gruß
hendrik
).