Trägheitsmoment einer quadratischen Scheibe

Wissenschaft Physik
#1

Als Chemiestudent habe ich Probleme mit einer Volumenintegration:

Ich soll das Trägheitsmoment einer quadratischen Scheibe (Seitenlänge L, Dicke D und homogener Dichte q) berechnen. Die Rotationsachse ist die Gerade, die senkrecht zur Scheibe steht und durch den Mittelpunkt geht.

Ich weiss aus dem Tipler wie man dies für runde Scheiben macht. Das habe ich auch verstanden. Das Trägheitsmoment ist als Integral (0, m) von (r^2)dm definiert und ich finde keinen Ansatz, wo ich eindeutig den Radius zu dem Massenteil dm darstellen kann.
Kann mir jemand erklären wie man das Integral aufstellt.
Als Lösung soll I= (1/12)*Gesamtmasse*(L^2) rauskommen.

Vielen Dank für Hilfe!

Benedikt

#2

Als Chemiestudent habe ich Probleme mit einer
Volumenintegration:

Das geht auch ohne.

Ich soll das Trägheitsmoment einer quadratischen Scheibe
(Seitenlänge L, Dicke D und homogener Dichte q) berechnen. Die
Rotationsachse ist die Gerade, die senkrecht zur Scheibe steht
und durch den Mittelpunkt geht.

Kann mir jemand erklären wie man das Integral aufstellt.

Hallo Benedikt.

L=a, D=h, q=rho
Man bestimmt als erstes die äquatorialen Flächenträgheitsmomente der Scheibengrundfläche (Integral s² dA), wobei s die Abstände der Flächenelemente dA zu zwei Achsen in der Fläche, seitenparallel und durch den Mittelpunkt sind. Als Ergebnis erhälst Du bei einem Quadrat Ix = Iy = a^4/12.
Durch Addition von Ix und Iy erhälst Du das polare Flächenträgheitsmoment Iz um die Achse senkrecht zur Fläche und durch den Mittelpunkt. Iz = Ix + Iy = a^4/6 = (a² * a²)/6
Wenn Du nun das erste a² als Grundfläche mit der Höhe h der Scheibe und der Materialdichte rho multiplizierst ist a²*h*rho die Masse der Scheibe und man erhält das polare Massenträgheitsmoment der Scheibe Jz = m/6 * a². Voila!

Ich habe Dir hier den Weg aufgezeigt. Wenn Du Schwierigkeiten hast die einzelnen Rechenschritte nach zu vollziehen, melde Dich, dann maile ich sir Dir zu. Man muß am Anfang aufpassen bei der Definition der Dimensionen (halber Abstand zur Mittelachse und zweimal die halbe Fläche)also 2 * Integral x²/4 dA.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander Berresheim

#3

Hallo Benedikt,
Du kannst Dir aber viel Arbeit ersparen, wenn Du die Symmetrieeigenschaften der Scheibe ausnutzt.

Ich soll das Trägheitsmoment einer quadratischen Scheibe
(Seitenlänge L, Dicke D und homogener Dichte q) berechnen. Die
Rotationsachse ist die Gerade, die senkrecht zur Scheibe steht
und durch den Mittelpunkt geht.

Du kannst einen Rotationskörper in beliebige Teilkörper zerlegen. Das Trägheitsmoment ergibt sich als Summe der Einzelträgheitsmomente. Das dürfte klar und einleuchtend sein. Das Trägheitsmoment TM der Einzelkörper läßt sich in 2 Komponenten zerlegen (Steinerscher Satz):

  1. TM des Einzelkörpers bezüglich seines eigenen Schwerpunktes
  2. TM des Schwerpunktes des Einzelkörpers bezüglich der Drehachse.
    Das ist auch klar, weil sich pro Umdrehung des Gesamtkörpers jeder Einzelkörper genau einmal um seinen eigenen Schwerpunkt und der sich genau einmal um die Achse dreht.
    In diesem speziellen Fall kannst Du das Problem auf das TM eines homogenen Stabes der Länge L zurückführen. Ich nehme an, das habt ihr bereits ausgerechnet und könnt das Ergebis benutzen.
    Du setzt also Dein Quadrat aus unendlich vielen Stäben zusammen, deren Trägheitsmomente Du kennst. Die Addition der 1. TM-Komponenten ist trivial, da sie unabhängig vom Achsabstand sind. Hier kannst Du einfach die Masse des Körpers in die Stabformel einsetzen.
    Die 2. Komponente ist entfernungsabhängig und muß exakt genauso berechnet werden wie beim homogenen Stab (Die Schwerpunkte der Einzelstäbe bilden sozusagen einen zweiten Stab mit gleichem TM). Es kommt also nochmal der gleiche Wert dazu.

Ich weiss aus dem Tipler wie man dies für runde Scheiben
macht. Das habe ich auch verstanden. Das Trägheitsmoment ist
als Integral (0, m) von (r^2)dm definiert und ich finde keinen
Ansatz, wo ich eindeutig den Radius zu dem Massenteil dm
darstellen kann.
Kann mir jemand erklären wie man das Integral aufstellt.
Als Lösung soll I= (1/12)*Gesamtmasse*(L^2) rauskommen.

Sicher ? das ist doch die Formel für den homogenen Stab. Beim Quadrat würde nach obiger Begründung der doppelte Wert I=(1/6)*Gesamtmasse*(L^2) herauskommen

Jörg

#4

Vielen Dank für die Hilfe!
Danke für die schnelle Antwort. Ich habe mich bei der angegebenen Formel in der Tat vertan.

Ich werde den Ansatz in Ruhe nachvollziehen.

Vielen Dank

Benedikt