Trägheitsmoment Kreisel bzw.Kreiskegel

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,
folgende Aufgabe macht mir Probleme:

Sie besitzen einen geraden hölzernen Kreiskegel (Dichte = 0.9 g/cm3) mit der Höhe h = 10 cm und dem Basisdurchmesser 2r = 5 cm.
b) Berechnen Sie für eine Rotation um die Figurenachse das Trägheitsmoment

Ich weiß einfach nicht wie ich ich den Kegel parametrisiere, mit meiner Parametrisierung bekomme ich für dV nur Schwachsinn raus.
Wäre nett wenn mir jemand mit dem Voulumenelement und dem Integranden weiterhelfen könnte oder mir die Parametrisierung nennen könnte.

vielen Dank
eure verzweifelnde Lise

#2

Hallo!

Ich weiß einfach nicht wie ich ich den Kegel parametrisiere,
mit meiner Parametrisierung bekomme ich für dV nur Schwachsinn
raus.

Wie wäre es mit Zylinderkoordinaten?

Integration

… über φ von 0 bis 2π
… über r von 0 bis R = z * d/(2h)
… über z von 0 bis h

(R: Radius an der Position z; d: Durchmesser an der Basis, h: Höhe des Zylinders. z=0 sei die Zylinderspitze)

Michael

#3

Hallo Michael,
danke für deine Antwort es ist mir klar dass ich für die Parametisierung Zylinderkoordinaten wähle:

k(vektor)=(r*cosφ,r*sinφ,???) aber die z-Koordinate kann ja nicht gleich z sein sondern muss vom Radius abhängen. Wie hängt diese vom Radius ab?

Um dV zu erhalten muss ich den Betrag der Determinante, der Jacobischen, bilden. Das kann ich jedoch nur wenn ich die richtige Parametrisierung des Kegels habe- oder sehe ich da was falsch??

Gruß Lise

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#4

Hallo!

k(vektor)=(r*cosφ,r*sinφ,???) aber die
z-Koordinate kann ja nicht gleich z sein sondern muss vom
Radius abhängen. Wie hängt diese vom Radius ab?

Doch, die kann z sein. Warum sollte sie vom Radius abhängen? z hängt in den Integrationsgrenzen von r drin: An der Kegelspizte (z=0) ist R=0, an der Basis (z=h) ist R=d/2. Wie gesagt: φ geht von 0 bis &2π, r von 0 bis R und z von 0 bis h.

Michael

#5

Hallo Michael

ich will ja nicht nerven aber in meinem Buch steht:

Tz= sqrt(R^2+H^2)/R*2π*[1/4*r^4](von 0 bis R)=π/2 sqrt(R^2+H^2)R^3

mit R:Radius Grundfläche, H:Höhe und r:Radius

Wie kommt man darauf? Ich krieg das nich raus auch nicht wenn ich so inegrier wie du sagst!

danke für deine Hilfe
Gruß Lise

#6

Hallo,

Ich weiß einfach nicht wie ich ich den Kegel parametrisiere,

das Volumen dV einer infinitesimal dz dicken Kegelscheibe in der Höhe z beträgt

dV = A(z) dz = π r2(z) dz

mit

r(z) = R (1 – z/H).

als „Radius-von-Höhe-Funktion“ (r(z) ist linear in z und erfüllt r(0) = R und r(H) = 0). Darin ist R der Kegelbodenradius und H die Kegelhöhe.

Die Masse dieses Volumenelements beträgt dm = M/V dV und sein Trägheitsmoment ist

dJ = 1/2 dm r2 = 1/2 M/V dV r2 = 1/2 π M/V r4(z) = 1/2 π M/V R4 (1 – z/H)4

denn 1/2 m r2 ist das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe mit zur Scheibenebene senkrechter Achse durch den Mittelpunkt [:diamonds:].

Jetzt musst Du nur noch zweimal integrieren, einmal für das Kegelvolumen V und einmal für das Kegelträgheitsmoment J:

VKegel = π R2 ∫0 … H (1 – z/H)2 dz

= π R2 H ∫0 … 1 (1 – u)2 du   [∫ = 1/3]

= 1/3 π R2 H

JKegel = 1/2 π M/V R4 ∫0 … H (1 – z/H)4 dz

= 1/2 π M/V R4 H ∫0 … 1 (1 – u)4 du   [V von oben einsetzen, ∫ = 1/5]

= 3/10 M R2

Um dV zu erhalten muss ich den Betrag der Determinante, der
Jacobischen, bilden.

Das musst Du erst, wenn Du [:diamonds:] beweisen willst.

Gruß
Martin

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#7

genau so hatte ich es gemeint. (owt)
.

#8

Trägheitsmoment Kreisel bzw.Kreiskegel
dankeschön Martin

Grüße Lise