Hallo Oliver,
mein Problem:
wenn ich eine reguläre nxn-Matrix A habe, dann kann ich doch
durch eine Transformation der Form B^-1.A.B die Matrix auf
eine Dreiecksgestalt bringen.
Wobei B=(b1,…,bn) eine MAtrix ist die aus die aus den
Vektoren b1 bis bn zusammengesetzt ist. Diese Vektoren sind
nun wiederum die Basisvektoren der zu A gehörenden
charakteristischen Räume (zu den entsprechen Eigenwerten von
A).
So. Ich hoffe, das war bis jetzt alles richtig.
Einverstanden.
Jetzt meine eigentliche Frage:
Woher weiß ich denn ich welcher Reihenfolge, ich die b’s zu B
zusammensetzen muss? Also ob jetzt z.B.
B=(b1,b2,b3) oder B=(b2,b1,b3)
richtig ist. Das ist ja offentsichtlich nicht egal: denn
einmal erhalte ich mit B^-^1.A.B obere Dreiecksgestalt und mal
nicht!?
Ist eigentlich wirklich egal. Wenn Du die Reihenfolge der Eigenvektoren vertauschst, ändert sich die Matrix B^(-1) auch entsprechend und Du erhälst bei B^(-1)*A*B automatisch eine Diagonalmatrix, bei der die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen stehen. Und das in exakt der Reihenfolge, die Du bei der Matrix B verwendet hast. Denn:
A*B=(a_1*b_1,a_2*b_2,…, a_n*b_n), wobei die a_i (i=1…n) die Eigenwerte zu den Eigenvektoren b_1,…, b_n sind.
Da B^(-1)*B die Einheitsmatrix liefert, folgt hieraus sofort die Behauptung.
(Wenn Du bei B Spalten vertauschst, mußt Du bei B^(-1) die Zeilen analog vertauschen.)
Willst Du allerdings sicherstellen, daß ein Rechtssystem in ein Rechtssystem übergeführt wird, solltest Du eine Matrix wählen, die eine positive Determinante besitzt. (Dann bleiben Flächen und Volumina wie gewohnt positiv).
Hoffe das hilft Dir weiter
Helga