Transformationsmatrix und Jordansche Normalform

Wissenschaft Mathematik
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Morgen Leute!!

Ich habe eine Frage an euch:

Ich habe eine Matrix, von der ich die Jordansche Normalform und die verwendete Transformationsmatrix angeben soll.

Die Matrix lautet folgendermaßen:

0 1 0
-1 2 1
5 -6 1

Der enzige Eigenwert ist hier die 1, also ist die algebraische Vielfachheit 3.
Die geometrische Vielfachheit ist 1, da es nur ein linear unabhängiger Eigenvektor zum Eigenwert 1 gibt.

Dann ist die Jordansche Normalform:

1 1 0
0 1 1
0 0 1

Aber dann weiß ich nicht mehr weiter…Wie soll ich die „verwendete Transformationsmatrix“ bestimmen?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jmd helfen könnte.

Grüßle
selinchen20

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Hallo,

irgendwas stimmt da nicht. Maxima berechnet das charakteristische Polynom dieser Matrix zu –λ3 + 3λ2 – 9λ + 6. Das hat eine Nullstelle bei 0.834… Wie kommst Du auf 1 als Nullstelle?

A: matrix([0-L, 1, 0], [-1, 2-L, 1], [5, -6, 1-L]);
f(L) := expand(determinant(A));
f(L);

-L^3 + 3\*L^2 - 9\*L + 6

Wie soll ich die „verwendete Transformationsmatrix“ bestimmen?

J = Q–1AQ

Q ist die Transformationsmatrix. Sie besteht spaltenweise aus den Eigenvektoren von A.

http://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform

Gruß
Martin

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Hallo Martin,

danke erstmal für deine Antwort.

Ich habe bemerkt, dass ich bei der Matrix einen Tippfehler hatte *schäm*.

Ich schreibe die Matrix nochmal korrekt auf:

0 1 0
-1 2 0
5 -6 1

Hier ist das charakterische Polynom:
x^3 - 3x^2 + 3x - 1

Und die Eigenwerte eben : (1;1;1)

Die Transformationsmatrix habe ich einigermaßen verstanden. Ich schaue sie mir noch mal genauer an, dann klappt es schon :wink:

grüßle
selinchen20

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Ich schreibe die Matrix nochmal korrekt auf:

0 1 0
-1 2 0
5 -6 1

OK, mit der kommts hin :smile:

Hier ist das charakterische Polynom:
x^3 - 3x^2 + 3x - 1

Ja, oder faktorisiert (x – 1)3

Und die Eigenwerte eben : (1;1;1)

Genau.

Die Transformationsmatrix habe ich einigermaßen verstanden.
Ich schaue sie mir noch mal genauer an, dann klappt es schon

Maxima spukt für J und Q aus:

J =
(1 1 0)
(0 1 1)
(0 0 1)

Q =
(0 –1 1)
(0 –1 0)
(1 5 0)

Dann mal fröhliches Rechnen.

Gruß
Martin

load("diag")$

A: matrix([0, 1, 0], [-1, 2, 0], [5, -6, 1]);
f(L) := determinant(A - L\*ident(3));
expand(f(L));
solve(f(L) = 0, L);
J: jordan(A);
dispJordan(J);
Q: ModeMatrix(A, J);